Examen de Matemáticas CCSS de Islas Baleares 2020 (convocatoria extraordinaria)

Bernat quedó ayer con unos amigos en un bar y tomaron 4 cervezas, 3 bocadillos y 5 cafés con leche. En total les costó 19,50 euros. Días antes, había ido al mismo bar con su primo Martí, y por 2 cervezas, 1 bocadillo y 2 cafés con leche habían pagado 8,10 euros. En este bar todas las cervezas valen lo mismo y todos los bocadillos tienen el mismo precio.

a) Identifique las variables e interprete el enunciado como un conjunto de ecuaciones lineales. [2 puntos]

b) Hoy Bernat ha vuelto con otros amigos y han tomado 2 cervezas, 2 bocadillos y 3 cafés con leche. Combine las ecuaciones del apartado a) para deducir cuánto han pagado en total. [3 puntos]

c) Si 1 cerveza, 1 bocadillo y 1 café con leche cuestan 5,10 euros, ¿cuánto valen la cerveza, el bocadillo y el café con leche por separado? [5 puntos]

De una función $y=f(x)$ sabemos que su derivada es $f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x^3-18x$.

a) Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función $y=f(x)$. [5 puntos]

b) Determine las abscisas de sus extremos relativos y clasifíquelos. [5 puntos]

Sean $A$ y $B$ dos sucesos tales que $P(A\cup B)=\mathrm{0,8}$, $P(A^c)=\mathrm{0,5}$, donde $A^c$ denota el suceso complementario del suceso $A$, y $P(A\cap B)=\mathrm{0,3}$.

a) Calcule las probabilidades $P(B)$ y $P(A\mid B)$. [5 puntos]

b) Calcule las probabilidades $P(A\cap B^c)$ y $P(A^c\cup B^c)$. [4 puntos]

c) ¿Son $A$ y $B$ sucesos independientes? Justifique su respuesta. [1 punto]

En una población una variable aleatoria sigue una ley normal con desviación típica 8. Se ha elegido, al azar, una muestra de tamaño 100 y su media ha sido 67.

a) Calcule el intervalo de confianza del 93 % para la media de la población. [5 puntos]

b) ¿Cuál ha de ser el tamaño mínimo de la muestra que se ha de tomar para estimar, con un nivel de confianza del 99 %, la media de la población con un error no superior a 2? [5 puntos]

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 2& 1\end{array}\right)$,

a) Calcule $A^2$ y $A^3$. [2 puntos]

b) Proponga una fórmula para $A^n$ y utilícela para calcular $A^{14}$. [4 puntos]

c) Resuelva la ecuación matricial $A\cdot X+{\displaystyle \frac{1}{5}}{B}^t\cdot B=2A$, donde $B^t$ denota la matriz traspuesta de $B$. [4 puntos]

Un taller de joyería dispone de 150 gramos de plata y de 180 horas de trabajo para producir dos modelos de anillos. Para hacer un anillo del modelo A hacen falta 6 gramos de plata y 3 horas de trabajo, mientras que para hacer uno del modelo B hacen falta 2 gramos de plata y 6 horas de trabajo. Los anillos de los modelos A y B proporcionan, respectivamente, 35 y 55 euros de beneficio por unidad.

a) Plantee la maximización del beneficio de la joyería como un problema de programación lineal. [4 puntos]

b) Dibuje la región factible para la solución, indicando las rectas y los vértices que la delimitan. [4 puntos]

c) Sabiendo que se venderá toda la producción, determine cuántos anillos de cada modelo hay que producir para obtener el máximo beneficio e indique cuál es este beneficio. [2 puntos]

Los beneficios semanales de una empresa expresados en euros, cuando fabrica y vende $x$ objetos, se ajustan a la función

$B(x)=-\mathrm{0,75}{x}^2+75x-1200,\text{en que }20\le x\le 80.$

a) Calcule el beneficio que obtiene al fabricar y vender 20 objetos. [2 puntos]

b) Encuentre el número de objetos que ha de fabricar y vender para obtener el beneficio máximo, así como este beneficio máximo. [4 puntos]

c) El beneficio medio por $x$ objetos es $M(x)={\displaystyle \frac{B(x)}{x}}$. Diga cuántos objetos ha de fabricar y vender para que el beneficio medio sea máximo, y cuál es este beneficio. [4 puntos]

En una población, el tanto por ciento de personas que ven un cierto programa de televisión es del 40 %. Se sabe que el 60 % de las personas que lo ven tienen estudios superiores y que el 30 % de las personas que no lo ven no tienen estudios superiores.

a) Interprete los datos proporcionados en términos de sucesos, probabilidades y probabilidades condicionadas. [2 puntos]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga estudios superiores? [4 puntos]

c) Encuentre la probabilidad de que una persona que tenga estudios superiores vea el citado programa. [4 puntos]