Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Sean $A$ y $B$ dos sucesos tales que $P(A\cup B)=\mathrm{0,8}$, $P(A^c)=\mathrm{0,5}$, donde $A^c$ denota el suceso complementario del suceso $A$, y $P(A\cap B)=\mathrm{0,3}$.

a) Calcule las probabilidades $P(B)$ y $P(A\mid B)$. [5 puntos]

b) Calcule las probabilidades $P(A\cap B^c)$ y $P(A^c\cup B^c)$. [4 puntos]

c) ¿Son $A$ y $B$ sucesos independientes? Justifique su respuesta. [1 punto]

El primer paso es obtener $P(A)$, que sale del complementario.

$P(A)=1-P(A^c)=1-\mathrm{0,5}=\mathrm{0,5}$

Para $P(B)$ se despeja en la fórmula de la probabilidad de la unión.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$\mathrm{0,8}=\mathrm{0,5}+P(B)-\mathrm{0,3}\Rightarrow P(B)=\mathrm{0,8}-\mathrm{0,5}+\mathrm{0,3}=\mathrm{0,6}$

La probabilidad condicionada se obtiene de su definición.

$P(A\mathrm{/}B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,6}}}=\mathrm{0,5}$

$P(B)=\mathrm{0,6}\text{y}P(A\mathrm{/}B)=\mathrm{0,5}$



El suceso $A$ se descompone según ocurra o no $B$, y esos dos casos son incompatibles.

$P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B^c)$

$P(A\cap B^c)=P(A)-P(A\cap B)=\mathrm{0,5}-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,2}$

Para la segunda probabilidad se aplican las leyes de De Morgan: la unión de los complementarios es el complementario de la intersección.

$A^c\cup B^c=(A\cap B{)}^c$

$P(A^c\cup B^c)=1-P(A\cap B)=1-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,7}$

$P(A\cap B^c)=\mathrm{0,2}\text{y}P(A^c\cup B^c)=\mathrm{0,7}$

Con esto queda repartida toda la probabilidad entre las cuatro zonas del espacio muestral.

$P(A^c\cap B)=P(B)-P(A\cap B)=\mathrm{0,6}-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,3}$

$P(A^c\cap B^c)=1-P(A\cup B)=1-\mathrm{0,8}=\mathrm{0,2}$



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Son}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{sucesos}}\mathbf{\text{independientes?}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Dos sucesos son independientes cuando la probabilidad de la intersección coincide con el producto de las probabilidades.

$P(A)\cdot P(B)=\mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,6}=\mathrm{0,3}$

$P(A\cap B)=\mathrm{0,3}=P(A)\cdot P(B)$

Sí, los sucesos $A$ y $B$ son independientes. Se ve igual de bien con la condicionada del apartado a): $P(A\mathrm{/}B)=\mathrm{0,5}=P(A)$, es decir, saber que ha ocurrido $B$ no cambia la probabilidad de $A$.