Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2020

Los beneficios semanales de una empresa expresados en euros, cuando fabrica y vende $x$ objetos, se ajustan a la función

$B(x)=-\mathrm{0,75}{x}^2+75x-1200,\text{en que }20\le x\le 80.$

a) Calcule el beneficio que obtiene al fabricar y vender 20 objetos. [2 puntos]

b) Encuentre el número de objetos que ha de fabricar y vender para obtener el beneficio máximo, así como este beneficio máximo. [4 puntos]

c) El beneficio medio por $x$ objetos es $M(x)={\displaystyle \frac{B(x)}{x}}$. Diga cuántos objetos ha de fabricar y vender para que el beneficio medio sea máximo, y cuál es este beneficio. [4 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{obtiene}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{fabricar}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{objetos.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Basta sustituir $x=20$ en la función de beneficios.

$B(20)=-\mathrm{0,75}\cdot {20}^2+75\cdot 20-1200=-\mathrm{0,75}\cdot 400+1500-1200$

$B(20)=-300+1500-1200=0$

Con 20 objetos el beneficio es de 0 euros: es justamente el punto en el que la empresa cubre los costes sin ganar nada, y por eso el enunciado empieza el dominio ahí.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Encuentre}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{objetos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fabricar}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{vender}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo,}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Derivamos la función de beneficios e igualamos a cero.

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=-\mathrm{1,5}x+75$

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -\mathrm{1,5}x+75=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{75}{\mathrm{1,5}}}=50$

El valor está dentro del intervalo $[20,80]$ que fija el enunciado. Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-\mathrm{1,5}\Rightarrow B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(50)=-\mathrm{1,5}<0$

$B(50)=-\mathrm{0,75}\cdot 2500+75\cdot 50-1200=-1875+3750-1200=675$

Ha de fabricar y vender 50 objetos, y el beneficio máximo es de 675 euros.





Escribimos la función de beneficio medio dividiendo término a término.

$M(x)={\displaystyle \frac{B(x)}{x}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{0,75}{x}^2+75x-1200}{x}}=-\mathrm{0,75}x+75-{\displaystyle \frac{1200}{x}}$

Derivamos, escribiendo antes el último término como una potencia.

$M(x)=-\mathrm{0,75}x+75-1200x^{-1}\Rightarrow M^{\mathrm{\prime }}(x)=-\mathrm{0,75}+1200x^{-2}=-\mathrm{0,75}+{\displaystyle \frac{1200}{x^2}}$

$M^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{1200}{x^2}}=\mathrm{0,75}\Rightarrow x^2={\displaystyle \frac{1200}{\mathrm{0,75}}}=1600$

$x=\pm 40\Rightarrow x=40$

Se descarta la solución negativa, y el valor 40 pertenece al intervalo $[20,80]$. Comprobamos con la segunda derivada.

$M^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-2400x^{-3}=-{\displaystyle \frac{2400}{x^3}}$

$M^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(40)=-{\displaystyle \frac{2400}{64000}}=-\mathrm{0,0375}<0$

Al ser negativa, se trata de un máximo. Calculamos el beneficio medio.

$M(40)=-\mathrm{0,75}\cdot 40+75-{\displaystyle \frac{1200}{40}}=-30+75-30=15$

Se comprueba con el beneficio total en ese punto.

$B(40)=-\mathrm{0,75}\cdot 1600+75\cdot 40-1200=-1200+3000-1200=600\Rightarrow {\displaystyle \frac{600}{40}}=15$

Ha de fabricar y vender 40 objetos para que el beneficio medio sea máximo, y ese beneficio medio es de 15 euros por objeto. Nótese que no coincide con las 50 unidades del apartado b): con 50 objetos se gana más en total, 675 euros, pero menos por objeto, $675\mathrm{/}50=\mathrm{13,5}$ euros.