Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2023

Una fábrica de materiales de construcción ha descubierto que la producción diaria de ladrillos no defectuosos (en toneladas), $P(x)$, depende de la dureza del material que utiliza, $x$, (en una escala del 0 al 10) de acuerdo con la función

$P(x)=-x^3+3A{x}^2-3Bx+23,0\le x\le 10$

Determine, justificando la respuesta, las constantes $A$ y $B$ sabiendo que la producción mínima de ladrillos no defectuosos es de 13 toneladas y se alcanza cuando la dureza del material es de 1. [2 puntos]

El enunciado da dos condiciones sobre la función: que su derivada se anule en $x=1$, porque allí hay un extremo, y que el valor de la función en ese punto sea 13. Con ellas se plantea un sistema en $A$ y $B$.

$P^{\mathrm{\prime }}(x)=-3x^2+6Ax-3B$

Primera condición, extremo en $x=1$:

$P^{\mathrm{\prime }}(1)=0\Rightarrow -3+6A-3B=0\Rightarrow 2A-B=1$

Segunda condición, la producción en ese punto es de 13 toneladas:

$P(1)=-1+3A-3B+23=13\Rightarrow 3A-3B=-9\Rightarrow A-B=-3$

Reunimos las dos condiciones en un sistema:

$\{\begin{array}{l}2A-B=1\\ A-B=-3\end{array}$

Restando la segunda ecuación de la primera se elimina $B$:

$A=4\Rightarrow B=A+3=7$

Se comprueba que con estos valores el punto $x=1$ es efectivamente un mínimo, viendo el signo de la segunda derivada.

$P(x)=-x^3+12x^2-21x+23P^{\mathrm{\prime }}(x)=-3x^2+24x-21=-3(x-1)(x-7)$

$P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-6x+24\Rightarrow P^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=18>0$

Al ser la segunda derivada positiva, en $x=1$ hay un mínimo, y su valor es $P(1)=-1+12-21+23=13$ toneladas, como pedía el enunciado.

Las constantes buscadas son $A=4$ y $B=7$.