Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2021

Un determinado vino tiene un tiempo de crianza en bodega de entre 1 y 4 años. La graduación del vino, $G(x)$, en términos del tiempo de crianza, $x$, viene dada por la función

$G(x)=x^3-A{x}^2+6Bx+2,1\le x\le 4$

Determine, justificando la respuesta, las constantes $A$ y $B$ sabiendo que la máxima graduación se consigue exactamente a los 2 años, edad en que el vino alcanza los 22 grados. [2 puntos]

El enunciado da dos condiciones sobre la función: que su derivada se anule en $x=2$, porque allí está el máximo, y que la graduación en ese punto sea de 22 grados. Con ellas se plantea un sistema en $A$ y $B$.

$G^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-2Ax+6B$

Primera condición, extremo a los 2 años:

$G^{\mathrm{\prime }}(2)=0\Rightarrow 12-4A+6B=0\Rightarrow 2A-3B=6$

Segunda condición, la graduación en ese punto es de 22 grados:

$G(2)=8-4A+12B+2=22\Rightarrow -4A+12B=12\Rightarrow -A+3B=3$

Reunimos las dos condiciones en un sistema:

$\{\begin{array}{l}2A-3B=6\\ -A+3B=3\end{array}$

Sumando las dos ecuaciones se elimina $B$:

$A=9\Rightarrow 3B=3+A=12\Rightarrow B=4$

La función de graduación queda entonces

$G(x)=x^3-9x^2+24x+2$

y se comprueba que cumple las dos condiciones:

$G^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2-18x+24=3(x-2)(x-4)\Rightarrow G^{\mathrm{\prime }}(2)=0$

$G(2)=8-36+48+2=22$

Además, la segunda derivada confirma que a los 2 años hay un máximo, como decía el enunciado.

$G^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=6x-18\Rightarrow G^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(2)=-6<0$

Las constantes buscadas son $A=9$ y $B=4$.