Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2021

El diámetro de cierta variedad de manzana oscila entre los 2 y los 5 cm. El precio (en céntimos de euro), $P(x)$, que se le paga al agricultor por un kilogramo de estas manzanas viene determinado por su diámetro, $x$, de acuerdo con la siguiente función:

$P(x)=-2x^3+15x^2-24x+30,2\le x\le 5$

Determine para qué diámetros se alcanzan los precios máximo y mínimo de las manzanas. ¿Cuáles son estos precios máximo y mínimo? Razone las respuestas. [2 puntos]

El precio está definido en el intervalo cerrado $[2,5]$, de modo que los extremos absolutos se alcanzan en los puntos críticos del interior o en los extremos del intervalo. Derivamos la función e igualamos a cero.

$P^{\mathrm{\prime }}(x)=-6x^2+30x-24$

$P^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -6(x^2-5x+4)=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{5\pm \sqrt{25-16}}{2}}={\displaystyle \frac{5\pm 3}{2}}$

$\{\begin{array}{l}x=4\\ x=1\end{array}$

Se descarta $x=1$ por no pertenecer al intervalo de diámetros posibles. Estudiamos el signo de la derivada a un lado y a otro de $x=4$.

$P^{\mathrm{\prime }}(3)=-54+90-24=12>0P^{\mathrm{\prime }}(5)=-150+150-24=-24<0$



El precio crece en $(2,4)$ y decrece en $(4,5)$, así que en $x=4$ hay un máximo relativo. Para decidir los extremos absolutos se comparan los valores de la función en el punto crítico y en los extremos del intervalo.

$P(2)=-16+60-48+30=26\text{c}\acute{\text{e}}\text{ntimos}$

$P(4)=-128+240-96+30=46\text{c}\acute{\text{e}}\text{ntimos}$

$P(5)=-250+375-120+30=35\text{c}\acute{\text{e}}\text{ntimos}$

El precio máximo es de 46 céntimos por kilogramo y se alcanza con manzanas de 4 cm de diámetro; el precio mínimo es de 26 céntimos y corresponde a las manzanas de 2 cm.