Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2020

Problema 5.

Una tienda de alquiler de bicicletas dispone mensualmente de 350 bicicletas. Haciendo un estudio entre los ingresos y los costes de explotación se ha determinado que los beneficios mensuales, en euros, se ajustan a la función $f(x)=350x-x^2-15000$, siendo $x$ el número de bicicletas alquiladas en un mes.

a) Calcula el número de bicicletas que hay que alquilar cada mes para obtener un beneficio máximo. (3 puntos)
b) ¿Cuál es dicho beneficio máximo? (2 puntos)
c) Determina a partir de qué cantidad de bicicletas alquiladas el taller obtiene beneficios. (2,5 puntos)
d) ¿Puede tener pérdidas a pesar de alquilar una cantidad mayor de bicicletas que la obtenida en el apartado anterior? (2,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{bicicletas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{alquilar}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{mes}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo.}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$f(x)=350x-x^2-15000\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(x)=350-2x$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 350-2x=0\Rightarrow x=\frac{350}{2}=175$

$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-2\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(175)=-2<0$

Para $x=175$ se anula la primera derivada de $f(x)$ y la segunda derivada es negativa, por lo que la función presenta un máximo relativo en $x=175$.

El número de bicicletas que se deben alquilar para obtener un beneficio máximo es 175.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{dicho}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$f(175)=350\cdot 175-{175}^2-15000=15625$

El beneficio máximo que se puede obtener es de 15 625 €.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{bicicletas}}\mathbf{\text{alquiladas}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{taller}}\mathbf{\text{obtiene}}\mathbf{\text{beneficios.}}\mathbf{\text{(2,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Averiguamos dónde se anula la función.

$f(x)=0\Rightarrow 350x-x^2-15000=0$

$-x^2+350x-15000=0$

$x=\frac{-350\pm \sqrt{{350}^2-4(-1)(-15000)}}{-2}=\frac{-350\pm \sqrt{122500-60000}}{-2}=\frac{-350\pm 250}{-2}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=\frac{-350+250}{-2}=50,\\ x=\frac{-350-250}{-2}=300\end{array}$

Para valores entre $50$ y $300$ la función es positiva. $f(175)=15625>0$.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{¿Puede}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{p}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rdidas}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{pesar}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{alquilar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{bicicletas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{obtenida}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior?}}\mathbf{\text{(2,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Para valores mayores de $300$, por ejemplo $x=310$, la función es negativa, lo que indica que hay pérdidas:

$f(310)=350\cdot 310-{310}^2-15000=-2600<0$

Alquilando más de 300 bicicletas la empresa tiene pérdidas.