Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2021

Problema 4.

Una empresa ha estimado que los ingresos y gastos mensuales (en euros) que genera la fabricación de $x$ unidades de un producto vienen dados por las siguientes funciones: Ingresos: $I(x)=4x^2+800x$. Gastos: $G(x)=6x^2+460x+672$.

a) La empresa considera rentable el producto si el beneficio que obtiene con él es mayor o igual que 0. ¿Cuál es el número mínimo de unidades que debe fabricar la empresa para que el producto sea rentable? (4 puntos)
b) ¿Cuál es el número de unidades que debe fabricar la empresa para que el beneficio sea máximo? ¿Cuál es el beneficio obtenido en este caso? (3 puntos)
c) El próximo mes se introducirá una nueva normativa que obligará a la empresa a fabricar al menos 100 unidades de este producto. ¿Cuál es el máximo beneficio que podrá obtener la empresa tras la implantación de esta normativa? Justifica tu respuesta. (3 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{considera}}\mathbf{\text{rentable}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{obtiene}}\mathbf{\text{con}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{0}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{fabricar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{producto}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{rentable?}}\mathbf{\text{(4}}\mathbf{\text{puntos)}}$
El beneficio $B(x)$ es la diferencia entre los ingresos y los gastos.

$B(x)=I(x)-G(x)=4x^2+800x-(6x^2+460x+672)$

$B(x)=4x^2+800x-6x^2-460x-672$

$B(x)=-2x^2+340x-672$

Comprobamos cuando es mayor o igual que 0.

$B(x)=0\Rightarrow -2x^2+340x-672=0\Rightarrow x^2-170x+336=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{170\pm \sqrt{(-170{)}^2-4(336)}}{2}}$

$x={\displaystyle \frac{170\pm 166}{2}}$ $\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{170-166}{2}}=2\\ {\displaystyle \frac{170+166}{2}}=168\end{array}$

Para $x<2$, por ejemplo $x=1\Rightarrow B(1)=-2+340-672=-334<0$ los beneficios son negativos.
Para $2<x<168$, por ejemplo $x=10\Rightarrow B(10)=-200+3400-672=2528>0$ los beneficios son positivos.
Sigue el esquema siguiente:








El mínimo de unidades a fabricar para que el beneficio sea positivo es de 2 unidades.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{fabricar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{caso?}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$
Derivamos la función beneficio e igualamos a cero.
$B(x)=-2x^2+340x-672\Rightarrow B^{\mathrm{\prime }}(x)=-4x+340$

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow -4x+340=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{340}{4}}=85$

Sustituimos en la segunda derivada $x=85$.

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=-4x+340\Rightarrow B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-4\Rightarrow B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(85)=-4<0$

La función $B(x)$ presenta un máximo en $x=85$.

Como $B(85)=-2\cdot {85}^2+340\cdot 85-672=13778$ tenemos que el beneficio máximo se consigue con $85$ unidades y dicho beneficio máximo es de $13778,\text{€}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{pr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{mes}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{introducir}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{nueva}}\mathbf{\text{normativa}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{obligar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{fabricar}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathrm{<mn\; mathvariant="bold">100</mn>}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{producto.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{podr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{tras}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{implantaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{normativa?}}\mathbf{\text{Justifica}}\mathbf{\text{tu}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$
Sabemos que a partir de $x=85$ la función es decreciente. Si la cantidad mínima a producir es de $100$ unidades con estas unidades se obtendrá el máximo beneficio.

$B(100)=-20000+34000-672=13328$

El beneficio máximo pasa a ser de $13328,\text{€}$ con la fabricación de $100$ unidades.