Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2021

EJERCICIO 4. Análisis.
Una empresa puede vender $x$ unidades al mes de un determinado producto al precio de $518-x^2$ euros por unidad. Por otra parte, el fabricante tiene gastos mensuales: unos fijos de 225 euros y otros de $275x$ euros que dependen del número $x$ de unidades.

a) Determine las funciones I(x) y B(x) que expresan los ingresos y beneficios obtenidos por la producción y venta de x unidades, respectivamente. ¿Qué beneficio se obtiene si se producen y se venden 10 unidades?
b) Calcule el número de unidades que hay que producir para obtener el máximo beneficio. ¿A cuánto ascenderían dichos beneficios? ¿Cuál sería el precio de venta de una unidad en ese caso?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{funciones}}\mathbf{\text{I(x)}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{B(x)}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{expresan}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{ingresos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{beneficios}}\mathbf{\text{obtenidos}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{producci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{x}}\mathbf{\text{unidades,}}\mathbf{\text{respectivamente.}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{beneficio}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtiene}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{producen}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{venden}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{unidades?}}$

Los ingresos son el número de unidades por el precio de cada una.

$I(x)=x(518-x^2)=518x-x^3$

Los gastos totales suman la parte fija y la variable.

$G(x)=225+275x$

El beneficio es la diferencia entre ingresos y gastos.

$B(x)=I(x)-G(x)=518x-x^3-225-275x=-x^3+243x-225$

$B(10)=-1000+2430-225=1205$

Produciendo y vendiendo 10 unidades se obtiene un beneficio de 1205 euros.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{unidades}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{producir}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{beneficio.}}\mathbf{\text{¿A}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{ascender}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{an}}\mathbf{\text{dichos}}\mathbf{\text{beneficios?}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{venta}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{unidad}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{caso?}}$

Derivamos la función beneficio e igualamos a cero.

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=-3x^2+243$

$B^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 3x^2=243\Rightarrow x^2=81\Rightarrow x=\pm 9$

Se descarta la solución negativa por no tener sentido un número negativo de unidades. Comprobamos con la segunda derivada que se trata de un máximo.

$B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-6x\Rightarrow B^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(9)=-54<0$

$B(9)=-729+2187-225=1233$

$518-9^2=518-81=437$

Hay que producir 9 unidades al mes; con ellas el beneficio máximo asciende a 1233 euros y el precio de venta de cada unidad sería de 437 euros.