Examen de Matemáticas CCSS de Galicia 2021 (convocatoria extraordinaria)

EJERCICIO 1. Álgebra.
Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}x& y& x\\ y& 0& y\\ 1& z& z\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ccc}a& 2& 3\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{ccc}4& 0& 2\end{array}\right)$.

a) Determine los valores x, y, z para los cuales la matriz A no tiene inversa.
b) Calcule $A^{-1}$ para x=3, y=1, z=0.
c) Resuelva el sistema B·A=C para a=1.

EJERCICIO 2. Álgebra.
Un distribuidor de software informático, tiene entre sus clientes a empresas y a particulares. Al finalizar el año debe conseguir al menos 25 empresas como clientes en su cartera, y el número de clientes particulares que consiga deberá ser como mínimo el doble que el de empresas. Además, tiene estipulado un límite global de 120 clientes anuales. Finalmente, cada empresa produce 386 euros de ingresos anuales, mientras que cada particular 229 euros.

a) Plantee el problema para maximizar los ingresos.
b) Represente gráficamente el conjunto de soluciones.
c) ¿Cuál de esas soluciones le proporcionaría los mayores ingresos al finalizar el año? ¿A cuánto ascenderían dichos ingresos?

EJERCICIO 3. Análisis.
Después de t horas de funcionamiento el rendimiento de una máquina (en una escala de 0 a 100) viene dado por la función $r(t)={\displaystyle \frac{kt}{t^2+4}}$ con $t>0$

a) Calcule k sabiendo que el rendimiento a las 4 horas es de 76.
b) Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento del rendimiento durante las 7 primeras horas de funcionamiento.
c) ¿En qué momento se consigue el rendimiento máximo? ¿Cuál es su valor?

EJERCICIO 4. Análisis.
Una empresa puede vender $x$ unidades al mes de un determinado producto al precio de $518-x^2$ euros por unidad. Por otra parte, el fabricante tiene gastos mensuales: unos fijos de 225 euros y otros de $275x$ euros que dependen del número $x$ de unidades.

a) Determine las funciones I(x) y B(x) que expresan los ingresos y beneficios obtenidos por la producción y venta de x unidades, respectivamente. ¿Qué beneficio se obtiene si se producen y se venden 10 unidades?
b) Calcule el número de unidades que hay que producir para obtener el máximo beneficio. ¿A cuánto ascenderían dichos beneficios? ¿Cuál sería el precio de venta de una unidad en ese caso?

EJERCICIO 5. Estadística y Probabilidad.
El 40% de las personas que visitan el Pórtico de la Gloria de la Catedral de Santiago son españolas. Se sabe además que 4 de cada 5 españoles están satisfechos con la visita, mientras que, entre los no españoles, no están satisfechos con la visita el 10%.

a) Calcule el porcentaje de personas satisfechas con la visita.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona esté satisfecha con la visita y no sea española?
c) ¿Son independientes los sucesos “no ser español” y “estar satisfecho con la visita”? Razone la respuesta.

EJERCICIO 6. Estadística y Probabilidad.
El peso de las naranjas para zumo recolectadas por un productor es una variable aleatoria que se distribuye normalmente con una media de $\mu =200$ gramos y una desviación típica de $\sigma =50$ gramos.

a) Si tomamos una muestra aleatoria de $n=25$ naranjas, ¿cuál es la probabilidad de que su peso medio esté comprendido entre 175 y 215 gramos?
b) ¿De qué tamaño se ha tomado otra muestra aleatoria si la probabilidad de que el peso medio sea inferior a 210 gramos es del 97.72%?