Examen de Matemáticas CCSS de Galicia 2022 (convocatoria extraordinaria)

EJERCICIO 1. Álgebra.
Para dos matrices A y B se verifica que:
$A-B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -5& 2\end{array}\right)\text{y}2A+B=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 7\end{array}\right)$

a) Calcule las matrices A y B.
b) Despeje la matriz X en la ecuación matricial $A\cdot X-B=X$ y calcule su valor.

EJERCICIO 2. Álgebra.
En una fábrica se ensamblan dos tipos de motores: para motos y para coches. Para ensamblar un motor de moto se emplean 60 minutos de trabajo manual y 20 minutos de trabajo de máquina. Para ensamblar un motor de coche se emplean 45 minutos de trabajo manual y 40 minutos de trabajo de máquina. En un mes, la fábrica dispone de 120 horas de trabajo manual y 90 horas de trabajo de máquina. Sabiendo que el beneficio obtenido de cada motor de moto es de 1500 € y el de cada motor de coche de 2000 €:

a) Plantee el problema que permite determinar cuántos motores de cada tipo hay que ensamblar mensualmente para maximizar los beneficios globales.
b) Represente gráficamente la región factible y calcule sus vértices.
c) Halle las cantidades mensuales que se deben ensamblar de motores de cada tipo para maximizar beneficios y determine cuál es el beneficio máximo.

EJERCICIO 3. Análisis.
Los costes de una empresa, en cientos de miles de euros, vienen dados por la función:
$C(t)=t^3-{\displaystyle \frac{21}{2}}{t}^2+30t-12,t\text{ es el tiempo en a}\tilde{\text{n}}\text{os y }1\le t\le 6$

a) Calcule los costes máximos alcanzados. ¿En qué momento se producen?
b) Estudie el crecimiento y decrecimiento de los costes. Determine el coste mínimo y en qué momento se alcanza.
c) ¿Cuáles son los costes al inicio y al final del periodo en estudio?

EJERCICIO 4. Análisis.
Dada la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}-x^2+1& \text{si }x\le 1\\ 2x-a& \text{si }x>1\end{array}$

a) Calcule el valor del parámetro $a$ para que la función f(x) sea continua en todo R.
b) Para $a$=2 calcule los extremos relativos de la función f(x) y represéntela.
c) Calcule el área de la región delimitada por la función f(x), para $a$=2, y las rectas Y=0, X=0 y X=2.

EJERCICIO 5. Estadística y Probabilidad.
Un estudio revela que el 70% de las personas de una población sigue la serie de televisión A, el 60% sigue la serie B y el 30% sólo sigue la serie A.

a) ¿Qué porcentaje de la población sigue las dos series?
b) Si elegimos una persona al azar, ¿cuál es la probabilidad de que siga alguna de las dos series?
c) Si elegimos al azar una persona que sigue la serie A, ¿cuál es la probabilidad de que siga también la serie B?

EJERCICIO 6. Estadística y Probabilidad.
Se sabe que la edad de los trabajadores en las fábricas de una zona sigue una distribución normal de desviación típica 10 años. Con una muestra de trabajadores de la zona el intervalo de confianza al 90% para la media de edad obtenido es (39.25, 44.75).

a) ¿Cuál ha sido el tamaño de la muestra utilizada?
b) ¿Cuánto vale la media muestral?
c) ¿Cuál sería el error cometido a un nivel de confianza del 95%?