Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

EJERCICIO 1. Álgebra.
Para dos matrices A y B se verifica que:
$A-B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -5& 2\end{array}\right)\text{y}2A+B=\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 7\end{array}\right)$

a) Calcule las matrices A y B.
b) Despeje la matriz X en la ecuación matricial $A\cdot X-B=X$ y calcule su valor.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{matrices}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{B.}}$

Las dos igualdades forman un sistema de ecuaciones matriciales. Sumándolas desaparece $B$.

$(A-B)+(2A+B)=3A$

$3A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -5& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}5& 2\\ 2& 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 3\\ -3& 9\end{array}\right)$

$A={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}6& 3\\ -3& 9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 3\end{array}\right)$

Despejamos $B$ de la primera igualdad.

$B=A-\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -5& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -5& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& 1\end{array}\right)$

Las matrices buscadas son $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 3\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& 1\end{array}\right)$.



Agrupamos a un lado los términos con $X$ y sacamos factor común por la izquierda, que es el lado por el que multiplica $A$.

$A\cdot X-X=B\Rightarrow (A-I)X=B\Rightarrow X=(A-I{)}^{-1}\cdot B$

$A-I=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 2\end{array}\right),\mathrm{\mid }A-I\mathrm{\mid }=2+1=3\mathrm{\ne }0$

Al ser el determinante distinto de cero existe la inversa; para una matriz de orden 2 se intercambian los elementos de la diagonal principal y se cambia el signo de los de la secundaria.

$(A-I{)}^{-1}={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right)$

$X={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}2& -1\\ 1& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 4& 1\end{array}\right)={\displaystyle \frac{1}{3}}\left(\begin{array}{cc}-2& -1\\ 5& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}\\ \frac{5}{3}& \frac{1}{3}\end{array}\right)$

La matriz solución de la ecuación es $X=\left(\begin{array}{cc}-\frac{2}{3}& -\frac{1}{3}\\ \frac{5}{3}& \frac{1}{3}\end{array}\right)$.