Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

EJERCICIO 4. Análisis.
Dada la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}-x^2+1& \text{si }x\le 1\\ 2x-a& \text{si }x>1\end{array}$

a) Calcule el valor del parámetro $a$ para que la función f(x) sea continua en todo R.
b) Para $a$=2 calcule los extremos relativos de la función f(x) y represéntela.
c) Calcule el área de la región delimitada por la función f(x), para $a$=2, y las rectas Y=0, X=0 y X=2.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{par}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathit{a}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{f(x)}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{R.}}$

Cada trozo es un polinomio, continuo en todo su dominio, así que el único punto conflictivo es $x=1$, donde cambia la expresión. Para que haya continuidad los dos límites laterales deben coincidir con el valor de la función.

${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=-1^2+1=0$

${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=2\cdot 1-a=2-a$

$0=2-a\Rightarrow a=2$

Para $a=2$ la función es continua en todo $\mathbb{R}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Para}}\mathit{a}\mathbf{\text{=2}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{relativos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{f(x)}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{repres}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ntela.}}$

Derivamos cada trozo por separado.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}-2x& x<1\\ 2& x>1\end{array}$

En el primer trozo, $-2x=0\Rightarrow x=0$; la derivada es positiva antes de 0 y negativa después, así que hay un máximo relativo.

$f(0)=-0+1=1$

En el segundo trozo la derivada vale 2, siempre positiva, de modo que la función crece.

En $x=1$ la función pasa de decrecer a crecer, luego hay un mínimo relativo, aunque la función no sea derivable ahí.

$f(1)=-1+1=0$



La función presenta un máximo relativo en $(0,1)$ y un mínimo relativo en $(1,0)$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{delimitada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{f(x),}}\mathbf{\text{para}}\mathit{a}\mathbf{\text{=2,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{rectas}}\mathbf{\text{Y=0,}}\mathbf{\text{X=0}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{X=2.}}$

Entre $x=0$ y $x=2$ la función es no negativa, así que el área coincide con la integral definida, que hay que partir en $x=1$ porque ahí cambia la expresión.

$\acute{\text{A}}\text{rea}={\int }_0^1(-x^2+1)dx+{\int }_1^2(2x-2)dx$

${\int }_0^1(-x^2+1)dx={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x]}_0^1=-{\displaystyle \frac{1}{3}}+1={\displaystyle \frac{2}{3}}$

${\int }_1^2(2x-2)dx={[x^2-2x]}_1^2=(4-4)-(1-2)=1$

$\acute{\text{A}}\text{rea}={\displaystyle \frac{2}{3}}+1={\displaystyle \frac{5}{3}}$



El área de la región delimitada es de $\frac{5}{3}\approx \mathrm{1,67}$ unidades de área.