Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

B.2. [hasta 2,5 puntos]
Sea la función $f(x)=\{\begin{array}{ll}-2x-a& \text{si }x\le 0\\ x-1& \text{si }0<x<2\\ bx-5& \text{si }x\ge 2\end{array}$

a) [1,2 puntos] Halla los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que la función $f(x)$ sea continua en el conjunto de los números reales $\mathbb{R}$.
b) [0,5 puntos] Representa la gráfica de la función $f(x)$ para los valores de los parámetros $a=0$ y $b=3$.
c) [0,8 puntos] Para los valores $a=0$ y $b=3$, calcula el área de la región limitada por la gráfica de la función $f(x)$, el eje de abscisas OX, y las rectas $x=1$ y $x=3$.

Cada trozo es un polinomio de primer grado, continuo en todo su intervalo, así que los únicos puntos dudosos son los dos empalmes, $x=0$ y $x=2$. En cada uno se exige que los límites laterales coincidan con la imagen.

i) Empalme en $x=0$. La imagen la da el primer trozo, porque está definido para $x\le 0$.

$f(0)=-2\cdot 0-a=-a$

${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{-}}(-2x-a)=-a$

${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 0^{+}}(x-1)=-1$

$-a=-1\Rightarrow a=1$

ii) Empalme en $x=2$. Aquí la imagen la da el tercer trozo, definido para $x\ge 2$.

$f(2)=2b-5$

${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 2^{-}}(x-1)=1$

$2b-5=1\Rightarrow 2b=6\Rightarrow b=3$

La función es continua en todo $\mathbb{R}$ si y solo si $a=1$ y $b=3$.



Con esos valores la función queda así:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}-2x& \text{si }x\le 0\\ x-1& \text{si }0<x<2\\ 3x-5& \text{si }x\ge 2\end{array}$

Conviene advertir que con $a=0$ la función ya no es continua en el origen, porque el valor del apartado anterior era $a=1$: se produce un salto de $f(0)=0$ a $-1$. Por eso el empalme se dibuja con punto lleno arriba y punto hueco abajo. En $x=2$ sí hay continuidad, ya que $b=3$ es el valor correcto.

$\{\begin{array}{l}y=-2x:\text{ pasa por }(-2,4)\text{ y }(0,0)\\ y=x-1:\text{ pasa por }(0,-1)\text{ y }(2,1)\\ y=3x-5:\text{ pasa por }(2,1)\text{ y }(3,4)\end{array}$





Dentro del intervalo $[1,3]$ la función cambia de expresión en $x=2$, así que hay que partir la integral en ese punto. En cambio no cambia de signo: se anula en $x=1$ y es positiva en el resto del intervalo.

$f(1)=0;f(2)=1>0;f(3)=4>0$

$A={\int }_1^2(x-1)dx+{\int }_2^3(3x-5)dx$

Aplicando la regla de Barrow a cada integral:

${\int }_1^2(x-1)dx={[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x]}_1^2=(2-2)-({\displaystyle \frac{1}{2}}-1)={\displaystyle \frac{1}{2}}$

${\int }_2^3(3x-5)dx={[{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}-5x]}_2^3=({\displaystyle \frac{27}{2}}-15)-(6-10)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}+4={\displaystyle \frac{5}{2}}$

$A={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{5}{2}}=3$

El área de la región limitada es de $3$ unidades de área.