Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

3,El salario diario $(f)$ de un trabajador durante los primeros cinco años en una determinada empresa se ajusta a la siguiente función, donde x representa el tiempo, en años, que lleva contratado:\n $f(x)=\{\begin{array}{ll}35& \text{si }0\le x<1\\ 25+10x& \text{si }1\le x<2\\ -\mathrm{0,5}{x}^2+4x+a& \text{si }2\le x\le 5\end{array}$\n a) [0,75 puntos] Estudia la continuidad de la función, determinando el valor de $a$ para que dicha función sea continua en todo su dominio.\n b) [1,75 puntos] Considerando el valor de $a$ obtenido en el apartado anterior, estudia y representa gráficamente la función $f$ en todo su dominio. ¿En qué momento el salario fue máximo? ¿y mínimo?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Estudia}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{continuidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{determinando}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{continua}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

En cada trozo la función es constante, afín o polinómica, y esas son continuas siempre; los únicos puntos conflictivos son los empalmes $x=1$ y $x=2$.

$\mathbf{\text{En}}x=1$:

${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)=35{\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=25+10\cdot 1=35$

Los dos límites coinciden, así que ahí es continua sea cual sea $a$.

$\mathbf{\text{En}}x=2$:

${\lim }_{x\to 2^{-}}f(x)=25+10\cdot 2=45$

${\lim }_{x\to 2^{+}}f(x)=-\mathrm{0,5}\cdot 4+8+a=6+a$

Para que empalmen:

$6+a=45⟹a=\mathbf{\text{39}}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Considerando}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{apartado}}\mathbf{\text{anterior,}}\mathbf{\text{estudia}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{representa}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ficamente}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{f}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{todo}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio.}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{salario}}\mathbf{\text{fue}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}\mathbf{\text{¿Y}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo?}}\mathbf{\text{[1,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

$\mathbf{\text{Primer}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}(0\le x<1)$: el salario es constante, 35 euros al día.

$\mathbf{\text{Segundo}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}(1\le x<2)$: recta de pendiente 10, creciente; sube de 35 a 45 euros.

$\mathbf{\text{Del}}\mathbf{\text{segundo}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{quinto}}(2\le x\le 5)$: parábola con las ramas hacia abajo,

$f(x)=-\mathrm{0,5}{x}^2+4x+39f^{\mathrm{\prime }}(x)=-x+4=0⟹x=4$

Crece hasta los cuatro años y decrece después. Los valores clave son

$f(2)=45f(4)=-8+16+39=47f(5)=-\mathrm{12,5}+20+39=\mathrm{46,5}$



El salario fue $\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}$, con $\mathbf{\text{47}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{diarios}}$: es el vértice de la parábola y supera a los 46,5 euros del quinto año.

El salario fue $\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{durante}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{primer}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}$ (entre $x=0$ y $x=1$), con $\mathbf{\text{35}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{diarios}}$. A partir de ahí la función nunca vuelve a bajar de ese valor.