Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

A.3. (2 puntos)

Se considera la función real de variable real definida por la siguiente expresión:

$f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{x^3}{x^4+1}}& \text{si }x\le 0\\ {\displaystyle \frac{x^2+1}{x^2+1}}& \text{si }x>0\end{array}$.

a) Indique el dominio de la función $f(x)$ y analice su continuidad, señalando el tipo de discontinuidad si la presenta.
b) Determine las asíntotas de la función anterior.

Solo pueden quedar fuera del dominio los valores que anulan un denominador dentro del trozo en el que ese denominador actúa.

$x^2+1\ge 1>0\text{para todo }x,x+1=0\Rightarrow x=-1\mathrm{\notin }(0,+\mathrm{\infty })$

Ningún denominador se anula donde debe, así que $\text{Dom}f=\mathbb{R}$ y cada trozo es continuo en su intervalo. Solo queda estudiar el punto de empalme.

$f(0)={\displaystyle \frac{-0^4}{0+1}}=0$

${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)={\displaystyle \frac{-0}{1}}=0$

${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)={\displaystyle \frac{0+1}{0+1}}=1$

Los dos límites laterales son finitos pero distintos, luego no existe el límite en el punto. La función presenta en $x=0$ una discontinuidad de salto finito, de amplitud 1.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{as}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{ntotas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{anterior.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Al ser el dominio todo $\mathbb{R}$ no hay asíntotas verticales, así que estudiamos las ramas infinitas.

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{-x^4}{x^2+1}}=-\mathrm{\infty }$

No hay asíntota horizontal por la izquierda, y tampoco oblicua, porque el grado del numerador supera en dos unidades al del denominador.

${\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}={\lim }_{x\to -\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{-x^4}{x^3+x}}=+\mathrm{\infty }$

Por la derecha el numerador supera en un grado al denominador, así que hay asíntota oblicua $y=mx+n$.

$m={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^2+1}{x(x+1)}}=1$

$n={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}({\displaystyle \frac{x^2+1}{x+1}}-x)={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1-x}{x+1}}=-1$

La función no tiene asíntotas verticales ni horizontales; su única asíntota es la oblicua $y=x-1$ cuando $x\to +\mathrm{\infty }$.