Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

B.2 [hasta 2,5 puntos]
La velocidad que lleva un patinete $v(t)$, en función del tiempo $t$, viene dada por la siguiente función:
$v(t)=\{\begin{array}{ll}7t^2& \text{si }0\le t<1\\ 2t+a& \text{si }1\le t\le 5\\ -t^2+12t+b& \text{si }5<t\le 10\end{array}$

a) [0,8 puntos] Determina los valores de $a$ y $b$ para que la función $v(t)$ sea continua en los instantes $t=1$ y $t=5$.
b) [1 punto] Para $a=5$ y $b=-20$, ¿en qué momento el patinete alcanza la velocidad máxima? Concreta la velocidad máxima mencionada.
c) [0,7 puntos] En el caso $a=5$ y $b=-20$, realiza la representación gráfica de la función.

Cada trozo es un polinomio, continuo en su intervalo, de modo que los únicos puntos dudosos son los dos empalmes. En cada uno se exige que los límites laterales coincidan.

i) Empalme en $t=1$:

${\lim }_{t\to 1^{-}}v(t)={\lim }_{t\to 1^{-}}7t^2=7$

${\lim }_{t\to 1^{+}}v(t)={\lim }_{t\to 1^{+}}(2t+a)=2+a=v(1)$

$2+a=7\Rightarrow a=5$

ii) Empalme en $t=5$:

${\lim }_{t\to 5^{-}}v(t)=2\cdot 5+a=10+5=15=v(5)$

${\lim }_{t\to 5^{+}}v(t)={\lim }_{t\to 5^{+}}(-t^2+12t+b)=-25+60+b=35+b$

$35+b=15\Rightarrow b=-20$

La función es continua en los dos instantes si y solo si $a=5$ y $b=-20$, que son precisamente los valores con los que se trabaja en los apartados siguientes.



Se estudia cada trozo por separado y se comparan los máximos parciales, sin olvidar los extremos de cada intervalo.

i) En $[0,1)$ la función $7t^2$ es creciente, y su valor tiende a $7$ al acercarse a $t=1$.

ii) En $[1,5]$ la función $2t+5$ es una recta de pendiente positiva, creciente, con máximo en el extremo derecho.

$v(5)=2\cdot 5+5=15$

iii) En $(5,10]$ se deriva la parábola y se anula la derivada.

$v(t)=-t^2+12t-20\Rightarrow v^{\mathrm{\prime }}(t)=-2t+12$

$v^{\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow t=6$

$v^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=-2<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo}$

$v(6)=-36+72-20=16$

Se comparan los tres candidatos, $7$, $15$ y $16$, y también el valor final $v(10)=-100+120-20=0$.

El patinete alcanza la velocidad máxima en el instante $t=6$, y esa velocidad máxima es de $16$ unidades.



El primer trozo es un arco de parábola que arranca en el origen y llega a $(1,7)$; el segundo es el segmento de recta que une $(1,7)$ con $(5,15)$; el tercero es un arco de parábola con las ramas hacia abajo, vértice en $(6,16)$, que baja hasta $(10,0)$. Con los valores del primer apartado los tres trozos empalman sin saltos.