Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

B.2. [hasta 2,5 puntos]
Se considera la función definida por:
$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x^2-8x+6& \text{si }x\le 1\\ -2x^2+8x-6& \text{si }x>1\end{array}$

a) [1,7 puntos] Estudia la continuidad y derivabilidad de la función.
b) [0,4 puntos] Determina los extremos relativos de la función.
c) [0,4 puntos] Representa la gráfica de la función.

Conviene factorizar los dos trozos, porque las dos expresiones son la misma parábola cambiada de signo y eso explica todo lo que sigue.

$2x^2-8x+6=2(x-1)(x-3);-2x^2+8x-6=-2(x-1)(x-3)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,7}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Estudia}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{continuidad}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{derivabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Cada trozo es un polinomio, y los polinomios son continuos y derivables en todo $\mathbb{R}$. El único punto dudoso es el empalme, $x=1$.

i) Continuidad en $x=1$. Se comprueban las tres condiciones.

$f(1)=2\cdot 1-8\cdot 1+6=0$

${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{-}}(2x^2-8x+6)=0$

${\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}(-2x^2+8x-6)=0$

${\lim }_{x\to 1^{-}}f(x)={\lim }_{x\to 1^{+}}f(x)=f(1)=0\Rightarrow \text{ continua en }x=1$

La función es continua en todo $\mathbb{R}$.

ii) Derivabilidad en $x=1$. Se derivan los dos trozos y se comparan las derivadas laterales.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\{\begin{array}{ll}4x-8& \text{si }x<1\\ -4x+8& \text{si }x>1\end{array}$

$f^{\mathrm{\prime }}(1^{-})=4-8=-4;f^{\mathrm{\prime }}(1^{+})=-4+8=4$

$f^{\mathrm{\prime }}(1^{-})=-4\mathrm{\ne }4=f^{\mathrm{\prime }}(1^{+})\Rightarrow \text{ no derivable en }x=1$

La función es continua en todo $\mathbb{R}$ pero solo derivable en $\mathbb{R}-\{1\}$: en $x=1$ presenta un punto anguloso, porque las dos ramas llegan con pendientes opuestas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,4}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{extremos}}\mathbf{\text{relativos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Los candidatos son los puntos que anulan la derivada y, además, el punto donde la función no es derivable.

$4x-8=0\Rightarrow x=2$

Este valor no sirve, porque la expresión $4x-8$ solo vale para $x<1$. En ese tramo la derivada es siempre negativa, ya que $4x-8<-4<0$, de modo que la función decrece.

$-4x+8=0\Rightarrow x=2$

Este sí pertenece al tramo $x>1$. El signo de la derivada da la naturaleza de los dos candidatos.

$\begin{array}{cccc}& (-\mathrm{\infty },1)& (1,2)& (2,+\mathrm{\infty })\\ f^{\mathrm{\prime }}(x)& -& +& -\\ f(x)& \searrow & \nearrow & \searrow \end{array}$

$f(1)=0;f(2)=-8+16-6=2$

La función tiene un mínimo relativo en $(1,0)$ —que es el punto anguloso, donde pasa de decrecer a crecer— y un máximo relativo en $(2,2)$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,4}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Representa}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{gr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{fica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Basta unir los dos trozos de parábola. El primero es un arco de la parábola $2(x-1)(x-3)$, con las ramas hacia arriba, dibujado solo hasta $x=1$; el segundo es la misma parábola invertida, con las ramas hacia abajo y vértice en $(2,2)$, dibujada a partir de $x=1$. Ambas cortan al eje en $x=1$ y $x=3$.