Examen de Matemáticas CCSS de País Vasco 2023 (convocatoria ordinaria)

A.1. [hasta 2,5 puntos]
Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ -3& 4\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ccc}-1& 2& 1\\ 3& -1& -1\end{array}\right)$, $C=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& 1\\ 2& -1& -1\end{array}\right)$.

a) [1 punto] Razona qué dimensión deben tener las matrices $P$ y $Q$ para que los productos $(A\cdot P\cdot B^t)$ y $(Q\cdot A\cdot C)$ den como resultado una matriz cuadrada.
b) [1,5 puntos] Resuelve la ecuación matricial:
$A\cdot X-2B\cdot C^t=A^t$

B.1. [hasta 2,5 puntos]
Una empresa especializada en la fabricación de mobiliario para casas de muñecas produce mesas y sillas que vende a 20 € y 30 €, respectivamente. La empresa quiere saber cuántas unidades de cada artículo debe fabricar diariamente para maximizar los ingresos, teniendo en cuenta las siguientes restricciones:

• El número total de unidades producidas de ambos artículos no podrá exceder de 4, por día.
• Cada mesa requiere 2 horas para su fabricación y cada silla 3 horas. La jornada laboral máxima es de 10 horas.
• El material utilizado en cada mesa cuesta 4 €, y el utilizado en cada silla 2 €. El presupuesto para material es de 12 € diarios.

	PRECIO	MATERIAL	TIEMPO	UNIDADES MESA	20 €	4 €	2 horas	x SILLA	30 €	2 €	3 horas	y

a) [2,1 puntos] Plantea y resuelve el problema de maximización.
b) [0,4 puntos] Razona si con estas restricciones se puede fabricar diariamente 1 mesa y 1 silla, y si esto le conviene a la empresa.

A.2. [hasta 2,5 puntos]

a) [0,8 puntos] La gráfica de la función $g(x)=a{x}^3+bx+c$ tiene las siguientes características:
• Pasa por el punto $(0,0)$.
• Tiene un mínimo relativo en el punto $(1,-1)$.
Obtén el valor de los parámetros $a$, $b$ y $c$.
b) [1 punto] Determina los máximos relativos, mínimos relativos y puntos de inflexión de la función $f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^3-{\displaystyle \frac{3}{2}}x$, y realiza su representación gráfica.
c) [0,7 puntos] Halla el área de la región limitada por el eje de abscisas OX, la gráfica de la función $f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}{x}^3-{\displaystyle \frac{3}{2}}x$, y las rectas $x=3$ y $x=4$.

B.2. [hasta 2,5 puntos]
Se considera la función definida por:
$f(x)=\{\begin{array}{ll}2x^2-8x+6& \text{si }x\le 1\\ -2x^2+8x-6& \text{si }x>1\end{array}$

a) [1,7 puntos] Estudia la continuidad y derivabilidad de la función.
b) [0,4 puntos] Determina los extremos relativos de la función.
c) [0,4 puntos] Representa la gráfica de la función.

A.3. [hasta 2,5 puntos]
De una baraja, Lucía y Carlos han extraído 8 cartas: los cuatro ases y los cuatro reyes. De esas 8 cartas, Lucía le ha dado dos cartas a Carlos y, posteriormente, ha cogido una carta para ella.
Calcula:

a) [0,4 puntos] La probabilidad de que Carlos tenga dos ases.
b) [0,6 puntos] La probabilidad de que Carlos tenga un as y un rey.
c) [0,7 puntos] La probabilidad de que Lucía tenga un as y Carlos no tenga dos reyes.
d) [0,8 puntos] La probabilidad de que Lucía tenga un rey.

B.3. [hasta 2,5 puntos]
Jimena tiene dos trajes rojos, un traje azul y uno blanco. Además, tiene un par de zapatos de color rojo, otro par de color azul y dos pares blancos.
Si decide aleatoriamente qué ponerse, determina las probabilidades de los siguientes sucesos:

a) [0,3 puntos] Llevar traje rojo y zapatos blancos.
b) [0,4 puntos] No ir vestida totalmente de blanco.
c) [0,4 puntos] Llevar zapatos azules.
d) [0,5 puntos] Llevar zapatos azules o blancos.
e) [0,4 puntos] Ir vestida totalmente del mismo color.
f) [0,5 puntos] Llevar zapatos rojos, sabiendo que no está vestida totalmente del mismo color.

A.4. [hasta 2,5 puntos]
El número de horas semanales que las y los estudiantes de bachillerato de una determinada ciudad dedican al deporte es una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media 8 y varianza 7,29.
Se elige una muestra aleatoria simple de tamaño 36.

a) [0,75 puntos] Indica cuál es la distribución de la media muestral, $\bar{X}$.
b) [1 punto] ¿Cuál es la probabilidad de que el número medio de horas semanales que dedican al deporte esté entre 7,82 y 8,36?
c) [0,75 puntos] En la distribución de la media muestral $\bar{X}$, obtén el intervalo característico para el 99 %.

B.4. [hasta 2,5 puntos]
En una cierta universidad se ha tomado una muestra aleatoria simple de 400 estudiantes, y se ha observado que de ellos 160 han aprobado todas las asignaturas.

a) [1,25 puntos] Estima el porcentaje de estudiantes de esa universidad que aprueban todas las asignaturas, con un nivel de confianza del 97 %.
b) [0,5 puntos] Calcula el error máximo admisible, con el nivel de confianza indicado.
c) [0,75 puntos] A la vista del resultado anterior, se quiere repetir la experiencia para conseguir que el error máximo admisible no sea superior a 0,04, con el mismo nivel de confianza. ¿Cuántos estudiantes, como mínimo, ha de tener la muestra?