Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

A.4. [hasta 2,5 puntos]
El número de horas semanales que las y los estudiantes de bachillerato de una determinada ciudad dedican al deporte es una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media 8 y varianza 7,29.
Se elige una muestra aleatoria simple de tamaño 36.

a) [0,75 puntos] Indica cuál es la distribución de la media muestral, $\bar{X}$.
b) [1 punto] ¿Cuál es la probabilidad de que el número medio de horas semanales que dedican al deporte esté entre 7,82 y 8,36?
c) [0,75 puntos] En la distribución de la media muestral $\bar{X}$, obtén el intervalo característico para el 99 %.

De la varianza se obtiene la desviación típica de la población, que es el dato que interviene en los tres apartados.

${\sigma }^2=\mathrm{7,29}\Rightarrow \sigma =\sqrt{\mathrm{7,29}}=\mathrm{2,7}\text{ horas}$



Si la población sigue una distribución normal, la media de una muestra aleatoria simple de tamaño $n$ también se distribuye normalmente, con la misma media y con desviación típica $\sigma \mathrm{/}\sqrt{n}$.

$\bar{X}\sim N\text{\hspace{0.17em}⁣}(\mu ,{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

${\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,7}}{\sqrt{36}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{2,7}}{6}}=\mathrm{0,45}$

La media muestral sigue una distribución normal $\bar{X}\sim N(8;\mathrm{0,45})$, es decir, de media $8$ horas y desviación típica $\mathrm{0,45}$ horas.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{horas}}\mathbf{\text{semanales}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{dedican}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{deporte}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{7,82}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{8,36?}}$

Se tipifica la media muestral con los parámetros del apartado anterior.

$Z={\displaystyle \frac{\bar{X}-8}{\mathrm{0,45}}}\sim N(0,1)$

$P(\mathrm{7,82}<\bar{X}<\mathrm{8,36})=P({\displaystyle \frac{\mathrm{7,82}-8}{\mathrm{0,45}}}<Z<{\displaystyle \frac{\mathrm{8,36}-8}{\mathrm{0,45}}})=P(-\mathrm{0,4}<Z<\mathrm{0,8})$

El extremo negativo se lleva al semieje positivo con la simetría de la campana.

$=\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,8})-\mathrm{\Phi }(-\mathrm{0,4})=\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,8})-(1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,4}))$

$=\mathrm{0,7881}-(1-\mathrm{0,6554})=\mathrm{0,7881}-\mathrm{0,3446}=\mathrm{0,4435}$

La probabilidad de que el número medio de horas semanales esté entre $\mathrm{7,82}$ y $\mathrm{8,36}$ es $\mathrm{0,4435}$, es decir, un $\mathrm{44,35}\mathrm{\%}$.





El intervalo característico para el $99\mathrm{\%}$ es el centrado en la media que deja fuera un $1\mathrm{\%}$ repartido entre las dos colas.

$1-\alpha =\mathrm{0,99}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,005}\Rightarrow \mathrm{\Phi }\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(z_{\alpha \mathrm{/}2}\right)=\mathrm{0,995}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,58}$

$(\mu -z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}},\mu +z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})=(8-\mathrm{2,58}\cdot \mathrm{0,45},8+\mathrm{2,58}\cdot \mathrm{0,45})$

$\mathrm{2,58}\cdot \mathrm{0,45}=\mathrm{1,161}$

$(8-\mathrm{1,161},8+\mathrm{1,161})=(\mathrm{6,839};\mathrm{9,161})$

El intervalo característico para el $99\mathrm{\%}$ es $(\mathrm{6,839};\mathrm{9,161})$ horas semanales.