Examen de Matemáticas CCSS de País Vasco 2020 (convocatoria ordinaria)

A 1 [hasta 2,5 puntos]
Se considera la ecuación matricial:
$A\cdot X=A^t\cdot B$ donde $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 0& 1& 2\\ 1& 2& 0\end{array}\right)$ y $B=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 2\end{array}\right)$.

a) [0,5 puntos] ¿Qué dimensión debe tener la matriz $X$?
b) [2 puntos] Resuelve la ecuación matricial.

A 2 [hasta 2,5 puntos]
Sea $f(x)$ la siguiente función:
$f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2& \text{si }0\le x\le 1\\ ax+2& \text{si }1<x\le 2\end{array}$

a) [1 punto] Determina el valor del parámetro $a$ para que la función $f(x)$ sea continua en el punto $x=1$.
b) [0,5 puntos] Realiza la representación gráfica de la función cuando $a=2$.
c) [1 punto] Calcula el área comprendida entre la función y el eje de abscisas OX para $a=2$.

A 3 [hasta 2,5 puntos]
En una caja hay una bola roja y una bola azul. Se han extraído dos bolas de la caja como se explica a continuación: se ha extraído una bola, y antes de sacar la segunda se ha devuelto a la caja la primera bola extraída, añadiendo otra bola del mismo color.

a) [0,75 puntos] Calcula la probabilidad de que la segunda bola extraída sea roja si la primera que se ha sacado era azul.
b) [1 punto] Calcula la probabilidad de que la segunda bola extraída sea azul.
c) [0,75 puntos] Si la segunda bola ha sido azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera bola extraída haya sido roja?

A 4 [hasta 2,5 puntos]
La altura en centímetros de las mujeres de un determinado país sigue una distribución normal de media 163 cm y desviación típica 7 cm.

a) [1,5 puntos] Si se toma una mujer al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su altura sea superior a 171 cm? ¿Y de que su altura esté comprendida entre 155 y 171 cm?
b) [1 punto] Una empresa que fabrica disfraces quiere elaborar cuatro tallas en función de la altura, de tal modo que cada una de ellas sea adecuada para el 25 % de las mujeres. ¿Cuáles serán las alturas que marcarán el cambio de una talla a otra?

B 1 [hasta 2,5 puntos]
Un guía de turismo quiere adquirir tickets de diferentes actividades para sus clientes. En concreto, quiere comprar al menos 16 tickets para acudir a un museo, 20 para realizar una visita guiada y 16 para asistir a un espectáculo.
Dos agencias disponen de ofertas para dichos tickets combinados en paquetes:
• La agencia A ofrece paquetes formados por 6 tickets para el museo, 4 para la visita guiada y 4 para el espectáculo, a 210 € cada paquete.
• La agencia B ofrece paquetes formados por 4 tickets para el museo, 6 para la visita guiada y 4 para el espectáculo, a 230 € cada paquete.
¿Cuántos paquetes deberá comprar el guía a cada agencia para que su coste sea mínimo? ¿A cuánto asciende dicho coste?

B 2 [hasta 2,5 puntos]
Sea la siguiente función $f(x)={\displaystyle \frac{x}{x^2+1}}$.

a) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos relativos de la función.
b) [0,5 puntos] Calcula las asíntotas verticales y horizontales de la función.
c) [0,5 puntos] Representa gráficamente el área comprendida entre la función y la recta $y={\displaystyle \frac{x}{2}}$.
d) [0,5 puntos] Obtén la primitiva de la función $f(x)$, sabiendo que en $x=0$ toma el valor 1.

B 3 [hasta 2,5 puntos]
Sean $A$ y $B$ dos sucesos compatibles asociados a un experimento aleatorio.
Se sabe que $P(A)=\mathrm{0,6}$, $P(B)=\mathrm{0,5}$ y $P(A\cap B)=\mathrm{0,4}$. Calcula:

a) [0,65 puntos] $P(A\cup B)$
b) [0,6 puntos] $P(A^c\cap B^c)$
c) [0,6 puntos] $P(A^c\cap B)$
d) [0,65 puntos] $P(A\mathrm{\mid }B)$

B 4 [hasta 2,5 puntos]
El peso de las truchas de una piscifactoría sigue una distribución normal de media 250 gramos y desviación típica 50 gramos. Únicamente son aptas para la venta aquellas que superan un determinado peso.

a) [1,25 puntos] ¿Cuál debería ser ese peso si se quiere que el 40 % de las truchas de la piscifactoría sean aptas para la venta?
b) [1,25 puntos] Si dicho peso se establece en 280 gramos y en la piscifactoría hay un total de 6000 truchas, ¿cuántas de ellas se podrán poner a la venta?