Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

A 4 [hasta 2,5 puntos]
La altura en centímetros de las mujeres de un determinado país sigue una distribución normal de media 163 cm y desviación típica 7 cm.

a) [1,5 puntos] Si se toma una mujer al azar, ¿cuál es la probabilidad de que su altura sea superior a 171 cm? ¿Y de que su altura esté comprendida entre 155 y 171 cm?
b) [1 punto] Una empresa que fabrica disfraces quiere elaborar cuatro tallas en función de la altura, de tal modo que cada una de ellas sea adecuada para el 25 % de las mujeres. ¿Cuáles serán las alturas que marcarán el cambio de una talla a otra?

Se llama $X$ a la altura de una mujer elegida al azar, en centímetros.

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(163,7);Z={\displaystyle \frac{X-163}{7}}\sim N(0,1)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{toma}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{mujer}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{superior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{171}}\mathbf{\text{cm?}}\mathbf{\text{¿Y}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{altura}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{comprendida}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{155}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{171}}\mathbf{\text{cm?}}$

i) Se tipifica y se pasa al complementario, porque la tabla da áreas acumuladas por la izquierda.

$P(X>171)=P(Z>{\displaystyle \frac{171-163}{7}})=P(Z>\mathrm{1,14})=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,14})$

$=1-\mathrm{0,8729}=\mathrm{0,1271}$

ii) El segundo intervalo es simétrico respecto de la media, ya que $163-155=171-163=8$, de modo que basta la simetría de la campana.

$P(155<X<171)=P({\displaystyle \frac{155-163}{7}}<Z<{\displaystyle \frac{171-163}{7}})=P(-\mathrm{1,14}<Z<\mathrm{1,14})$

$=2\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,14})-1=2\cdot \mathrm{0,8729}-1=\mathrm{0,7458}$

La probabilidad de que su altura sea superior a $171\text{ cm}$ es $\mathrm{0,1271}$, un $\mathrm{12,71}\mathrm{\%}$, y la de que esté comprendida entre $155$ y $171\text{ cm}$ es $\mathrm{0,7458}$, un $\mathrm{74,58}\mathrm{\%}$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Una}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{fabrica}}\mathbf{\text{disfraces}}\mathbf{\text{quiere}}\mathbf{\text{elaborar}}\mathbf{\text{cuatro}}\mathbf{\text{tallas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{altura,}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tal}}\mathbf{\text{modo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellas}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{adecuada}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{25}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{mujeres.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{les}}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{alturas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{marcar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cambio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{talla}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{otra?}}$

Cuatro tramos del mismo tamaño se separan con tres alturas, que son las que acumulan por debajo el $25\mathrm{\%}$, el $50\mathrm{\%}$ y el $75\mathrm{\%}$: los tres cuartiles de la distribución.

$P(X\le a)=\mathrm{0,25},P(X\le b)=\mathrm{0,50},P(X\le c)=\mathrm{0,75}$

i) Para el primero, el área acumulada es menor que $\mathrm{0,5}$, de modo que el valor tipificado ha de ser negativo. En la tabla, $\mathrm{0,75}$ cae entre $\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,67})=\mathrm{0,7486}$ y $\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,68})=\mathrm{0,7517}$, y se toma el valor intermedio.

${\displaystyle \frac{a-163}{7}}=-\mathrm{0,675}\Rightarrow a=163-\mathrm{0,675}\cdot 7=163-\mathrm{4,725}=\mathrm{158,275}$

ii) El segundo es inmediato, porque la normal es simétrica respecto de su media.

${\displaystyle \frac{b-163}{7}}=0\Rightarrow b=163$

iii) El tercero es el simétrico del primero.

${\displaystyle \frac{c-163}{7}}=\mathrm{0,675}\Rightarrow c=163+\mathrm{4,725}=\mathrm{167,725}$

Las tres alturas que marcarán el cambio de una talla a otra son $\mathrm{158,275}\text{ cm}$, $163\text{ cm}$ y $\mathrm{167,725}\text{ cm}$.