Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

A.4. [hasta 2,5 puntos]
En un test de empatía el 40 % de la población examinada obtuvo un resultado inferior a 4 puntos. Sabemos que el resultado del test sigue una distribución normal de media 4,8 puntos.

a) [0,75 puntos] Calcula la desviación típica de la distribución.
b) [0,75 puntos] Si la desviación típica es 3,14 puntos, ¿qué puntuación es superada únicamente por el 35 % de la población?
c) [1 punto] Si la desviación típica es 3,14 puntos, ¿qué porcentaje de la población tiene un resultado que se diferencia de la media en menos de 2 puntos?

Se llama $X$ al resultado del test. El enunciado da la media y una probabilidad, pero no la desviación típica, que es la incógnita del primer apartado.

$X\sim N(\mathrm{4,8};\sigma ),P(X<4)=\mathrm{0,40}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Se tipifica dejando $\sigma$ como incógnita. El valor tipificado sale negativo, así que se lleva al semieje positivo con la simetría de la campana para poder usar la tabla.

$P(Z\le {\displaystyle \frac{4-\mathrm{4,8}}{\sigma }})=P(Z\le {\displaystyle \frac{-\mathrm{0,8}}{\sigma }})=\mathrm{0,40}$

$P(Z\ge {\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}}{\sigma }})=\mathrm{0,40}\Rightarrow P(Z\le {\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}}{\sigma }})=1-\mathrm{0,40}=\mathrm{0,60}$

En la tabla, el área $\mathrm{0,60}$ cae entre $\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,25})=\mathrm{0,5987}$ y $\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,26})=\mathrm{0,6026}$, de modo que se interpola y se toma el valor intermedio.

${\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}}{\sigma }}=\mathrm{0,255}\Rightarrow \sigma ={\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,255}}}=\mathrm{3,137}$

La desviación típica de la distribución es de $\mathrm{3,137}$ puntos, aproximadamente $\mathrm{3,14}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{3,14}}\mathbf{\text{puntos,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{puntuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{superada}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nicamente}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{35}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}$

Se busca la puntuación $k$ que deja por encima el $35\mathrm{\%}$, es decir, la que acumula por debajo el $65\mathrm{\%}$.

$X\sim N(\mathrm{4,8};\mathrm{3,14})$

$P(X>k)=\mathrm{0,35}\Rightarrow P(X\le k)=\mathrm{0,65}\Rightarrow P(Z\le {\displaystyle \frac{k-\mathrm{4,8}}{\mathrm{3,14}}})=\mathrm{0,65}$

De nuevo el área cae entre dos valores de la tabla, $\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,38})=\mathrm{0,6480}$ y $\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,39})=\mathrm{0,6517}$, y se toma el intermedio.

${\displaystyle \frac{k-\mathrm{4,8}}{\mathrm{3,14}}}=\mathrm{0,385}\Rightarrow k=\mathrm{4,8}+\mathrm{0,385}\cdot \mathrm{3,14}=\mathrm{4,8}+\mathrm{1,2089}=\mathrm{6,0089}$

La puntuación superada únicamente por el $35\mathrm{\%}$ de la población es de $\mathrm{6,0089}$ puntos, es decir, prácticamente un $6$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{3,14}}\mathbf{\text{puntos,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{resultado}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{diferencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{puntos?}}$

Diferenciarse de la media en menos de dos puntos significa que el valor absoluto de la diferencia es menor que $2$, es decir, que el resultado cae en un intervalo centrado en la media.

$\mathrm{\mid }X-\mathrm{4,8}\mathrm{\mid }<2\Rightarrow \mathrm{2,8}<X<\mathrm{6,8}$

$P(\mathrm{2,8}<X<\mathrm{6,8})=P({\displaystyle \frac{-2}{\mathrm{3,14}}}<Z<{\displaystyle \frac{2}{\mathrm{3,14}}})=P(-\mathrm{0,64}<Z<\mathrm{0,64})$

Al ser un intervalo simétrico respecto de la media, el área se obtiene de golpe con la simetría de la campana.

$P(-\mathrm{0,64}<Z<\mathrm{0,64})=2\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,64})-1=2\cdot \mathrm{0,7389}-1$

$=\mathrm{1,4778}-1=\mathrm{0,4778}$

El $\mathrm{47,78}\mathrm{\%}$ de la población tiene un resultado que se diferencia de la media en menos de $2$ puntos.