Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

A.4. [hasta 2,5 puntos]
En un examen de Lengua Inglesa el 30 % del alumnado examinado obtuvo una puntuación superior a 7,6 puntos. Sabemos que la puntuación obtenida en dicho examen sigue una distribución normal de media 6,8 puntos.

a) [0,75 puntos] Calcula la desviación típica de la distribución de la puntuación.
b) [0,75 puntos] Si la desviación típica es 1,5 puntos, ¿qué puntuación es superada únicamente por el 20 % del alumnado?
c) [1 punto] Si la desviación típica es 1,5 puntos y el Aprobado se obtiene con una puntuación igual o superior a 5, ¿qué porcentaje del alumnado ha aprobado el examen?

Se llama $X$ a la puntuación obtenida en el examen. El enunciado da la media y una probabilidad, pero no la desviación típica, que es la incógnita del primer apartado.

$X\sim N(\mathrm{6,8};\sigma ),P(X>\mathrm{7,6})=\mathrm{0,30}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{puntuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Se pasa al suceso contrario, porque la tabla da áreas acumuladas por la izquierda, y se tipifica dejando $\sigma$ como incógnita.

$P(X>\mathrm{7,6})=\mathrm{0,30}\Rightarrow P(X\le \mathrm{7,6})=1-\mathrm{0,30}=\mathrm{0,70}$

$P(Z\le {\displaystyle \frac{\mathrm{7,6}-\mathrm{6,8}}{\sigma }})=P(Z\le {\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}}{\sigma }})=\mathrm{0,70}$

En la tabla, el área $\mathrm{0,70}$ cae entre $\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,52})=\mathrm{0,6985}$ y $\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,53})=\mathrm{0,7019}$, casi a la mitad, de modo que se interpola y se toma el valor intermedio.

${\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}}{\sigma }}=\mathrm{0,525}\Rightarrow \sigma ={\displaystyle \frac{\mathrm{0,8}}{\mathrm{0,525}}}=\mathrm{1,5238}$

La desviación típica de la distribución de las puntuaciones es de $\mathrm{1,5238}$ puntos, aproximadamente $\mathrm{1,5}$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{1,5}}\mathbf{\text{puntos,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{puntuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{superada}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{nicamente}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{alumnado?}}$

Se busca la puntuación $k$ que deja por encima el $20\mathrm{\%}$ del alumnado, es decir, la que acumula por debajo el $80\mathrm{\%}$.

$X\sim N(\mathrm{6,8};\mathrm{1,5})$

$P(X>k)=\mathrm{0,20}\Rightarrow P(X\le k)=\mathrm{0,80}\Rightarrow P(Z\le {\displaystyle \frac{k-\mathrm{6,8}}{\mathrm{1,5}}})=\mathrm{0,80}$

De nuevo el área cae entre dos valores de la tabla, $\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,84})=\mathrm{0,7995}$ y $\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,85})=\mathrm{0,8023}$, y se toma el intermedio.

${\displaystyle \frac{k-\mathrm{6,8}}{\mathrm{1,5}}}=\mathrm{0,845}\Rightarrow k=\mathrm{6,8}+\mathrm{0,845}\cdot \mathrm{1,5}=\mathrm{6,8}+\mathrm{1,2675}=\mathrm{8,0675}$

La puntuación superada únicamente por el $20\mathrm{\%}$ del alumnado es de $\mathrm{8,0675}$ puntos, es decir, aproximadamente $\mathrm{8,1}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{1,5}}\mathbf{\text{puntos}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{Aprobado}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtiene}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{puntuaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{superior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{5,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{alumnado}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{aprobado}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{examen?}}$

Se tipifica la puntuación de corte y, como el valor tipificado sale negativo, se lleva al semieje positivo con la simetría de la campana.

$P(X\ge 5)=P(Z\ge {\displaystyle \frac{5-\mathrm{6,8}}{\mathrm{1,5}}})=P(Z\ge -\mathrm{1,2})$

$P(Z\ge -\mathrm{1,2})=P(Z\le \mathrm{1,2})=\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,2})=\mathrm{0,8849}$

El resultado es coherente con el dibujo: como el $5$ queda bastante a la izquierda de la media, el porcentaje de aprobados tiene que superar holgadamente el $50\mathrm{\%}$.

Alrededor del $\mathrm{88,49}\mathrm{\%}$ del alumnado ha aprobado el examen.