Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

B.4. [hasta 2,5 puntos]
Un jugador A realiza lanzamientos con una moneda equilibrada, mientras que otro jugador B lo hace con una moneda trucada. La probabilidad de obtener cara con la moneda trucada es 0,4. Asociadas a dichos lanzamientos se definen las variables que siguen las siguientes distribuciones binomiales:
$X$: número de caras que obtiene el jugador A en $n$ lanzamientos, $X\equiv B(n,p)$
• $n=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de lanzamientos con la moneda equilibrada.}$
• $p=\text{probabilidad de obtener cara con la moneda equilibrada.}$
$Y$: número de cruces que obtiene el jugador B en $n^{\mathrm{\prime }}$ lanzamientos, $Y\equiv B(n^{\mathrm{\prime }},p^{\mathrm{\prime }})$
• $n^{\mathrm{\prime }}=\text{n}\acute{\text{u}}\text{mero de lanzamientos con la moneda trucada.}$
• $p^{\mathrm{\prime }}=\text{probabilidad de obtener cruz con la moneda trucada.}$

a) [0,6 puntos] Calcula la probabilidad de que el jugador A obtenga 3 caras en 3 lanzamientos con su moneda equilibrada.
b) [0,6 puntos] Calcula la probabilidad de que el jugador B obtenga 2 cruces en 2 lanzamientos con su moneda trucada.
c) [1,3 puntos] ¿Qué es más probable, que el jugador A obtenga menos de 190 caras en 400 lanzamientos con su moneda equilibrada o que el jugador B obtenga menos de 110 cruces en 200 lanzamientos con su moneda trucada? Justifica la respuesta.

Se identifican primero las dos probabilidades de éxito. La moneda del jugador $A$ está equilibrada, y la del jugador $B$ da cara con probabilidad $\mathrm{0,4}$, luego cruz con la complementaria.

$p=P(\text{cara con la moneda equilibrada})=\mathrm{0,5}$

$p^{\mathrm{\prime }}=P(\text{cruz con la moneda trucada})=1-\mathrm{0,4}=\mathrm{0,6}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,6}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{jugador}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{obtenga}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{caras}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{lanzamientos}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{moneda}}\mathbf{\text{equilibrada.}}$

Los lanzamientos son independientes y todos tienen la misma probabilidad de éxito, de modo que el número de caras sigue una binomial.

$X\sim B(3;\mathrm{0,5})$

$P(X=3)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{3}{3}\right){\mathrm{0,5}}^3{\mathrm{0,5}}^0=1\cdot \mathrm{0,125}\cdot 1=\mathrm{0,125}$

La probabilidad de que el jugador $A$ obtenga tres caras en tres lanzamientos es $\mathrm{0,125}$, es decir, un $\mathrm{12,5}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,6}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{jugador}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{obtenga}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{cruces}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{lanzamientos}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{moneda}}\mathbf{\text{trucada.}}$

$Y\sim B(2;\mathrm{0,6})$

$P(Y=2)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{2}{2}\right){\mathrm{0,6}}^2{\mathrm{0,4}}^0=1\cdot \mathrm{0,36}\cdot 1=\mathrm{0,36}$

La probabilidad de que el jugador $B$ obtenga dos cruces en dos lanzamientos es $\mathrm{0,36}$, es decir, un $36\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[1,3}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{probable,}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{jugador}}\mathbf{\text{A}}\mathbf{\text{obtenga}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{190}}\mathbf{\text{caras}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{400}}\mathbf{\text{lanzamientos}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{moneda}}\mathbf{\text{equilibrada}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{jugador}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{obtenga}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{110}}\mathbf{\text{cruces}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{200}}\mathbf{\text{lanzamientos}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{moneda}}\mathbf{\text{trucada?}}\mathbf{\text{Justifica}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}$

Con tantos lanzamientos no se puede calcular la binomial término a término: se aproxima cada una por una normal con su misma media y su misma desviación típica, y se comparan las dos probabilidades.

i) Jugador $A$, con $X\sim B(400;\mathrm{0,5})$:

$\mu =np=400\cdot \mathrm{0,5}=200;\sigma =\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{400\cdot \mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,5}}=\sqrt{100}=10$

Al pasar de la variable discreta a la continua se aplica la corrección de continuidad de Yates: los enteros estrictamente menores que $190$ llegan hasta $189$, y el intervalo continuo que les corresponde acaba en $\mathrm{189,5}$.

$P(X<190)=P(X\le 189)\approx P(X^{\mathrm{\prime }}<\mathrm{189,5})=P(Z<{\displaystyle \frac{\mathrm{189,5}-200}{10}})$

$=P(Z<-\mathrm{1,05})=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,05})=1-\mathrm{0,8531}=\mathrm{0,1469}$

ii) Jugador $B$, con $Y\sim B(200;\mathrm{0,6})$:

${\mu }^{\mathrm{\prime }}=n^{\mathrm{\prime }}{p}^{\mathrm{\prime }}=200\cdot \mathrm{0,6}=120;{\sigma }^{\mathrm{\prime }}=\sqrt{200\cdot \mathrm{0,6}\cdot \mathrm{0,4}}=\sqrt{48}\approx \mathrm{6,93}$

$P(Y<110)=P(Y\le 109)\approx P(Y^{\mathrm{\prime }}<\mathrm{109,5})=P(Z<{\displaystyle \frac{\mathrm{109,5}-120}{\mathrm{6,93}}})$

$=P(Z<-\mathrm{1,52})=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,52})=1-\mathrm{0,9357}=\mathrm{0,0643}$

Al tipificar, las dos preguntas quedan sobre la misma normal estándar, y basta comparar las dos colas: la del jugador $A$ llega hasta $-\mathrm{1,05}$ y la del $B$ solo hasta $-\mathrm{1,52}$.

$\mathrm{0,1469}>\mathrm{0,0643}$

Es más probable que el jugador $A$ obtenga menos de $190$ caras en $400$ lanzamientos, con probabilidad $\mathrm{0,1469}$, que el jugador $B$ obtenga menos de $110$ cruces en $200$ lanzamientos, cuya probabilidad es $\mathrm{0,0643}$.