Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

Problema 5.

En un sorteo, un jugador extrae dos bolas sin reemplazamiento de una urna que contiene 2 bolas blancas, 3 bolas amarillas y 5 bolas negras. El jugador consigue el primer premio si las dos bolas extraídas son blancas, consigue el segundo premio si las dos bolas extraídas son amarillas y consigue el tercer premio si una de las dos bolas extraídas es blanca y la otra no lo es. No hay más premios en el sorteo.

a) Calcula la probabilidad de que el jugador consiga el primer o el segundo premio. (4 puntos)
b) Calcula la probabilidad de que el jugador consiga el tercer premio. (3 puntos)
c) Si un jugador nos dice que ha obtenido premio en el sorteo, ¿cuál es la probabilidad de que haya obtenido el tercer premio? (3 puntos)

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{5.}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{sorteo,}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{jugador}}\mathbf{\text{extrae}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{bolas}}\mathbf{\text{sin}}\mathbf{\text{reemplazamiento}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{urna}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contiene}}\mathbf{2}\mathbf{\text{bolas}}\mathbf{\text{blancas,}}\mathbf{3}\mathbf{\text{bolas}}\mathbf{\text{amarillas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{5}\mathbf{\text{bolas}}\mathbf{\text{negras.}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{jugador}}\mathbf{\text{consigue}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{primer}}\mathbf{\text{premio}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{bolas}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{das}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{blancas,}}\mathbf{\text{consigue}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{segundo}}\mathbf{\text{premio}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{bolas}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{das}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{amarillas}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{consigue}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tercer}}\mathbf{\text{premio}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{bolas}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{das}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{blanca}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{otra}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{es.}}\mathbf{\text{No}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{premios}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sorteo.}}$

Realizamos un diagrama de árbol.



Llamamos $B_1$ y $B_2$ a sacar bola blanca en primera o segunda extracción respectivamente. De forma análoga llamamos $A_1$ y $A_2$ a sacar amarilla y $N_1$ y $N_2$ a sacar negra en primera o segunda extracción.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{jugador}}\mathbf{\text{consiga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{primer}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{segundo}}\mathbf{\text{premio.}}\mathbf{\text{(4}}\mathbf{\text{puntos)}}$
Para conseguir el primer premio debe sacar dos blancas o dos amarillas.

$P((B_1\cap B_2)\cup (A_1\cap A_2))=P(B_1\cap B_2)+P(A_1\cap A_2)$$=P(B_1),P(B_2\mathrm{/}{B}_1)+P(A_1),P(A_2\mathrm{/}{A}_1)$

$=\frac{2}{10}\cdot \frac{1}{9}+\frac{3}{10}\cdot \frac{2}{9}=\frac{4}{45}=\mathrm{0,089}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{jugador}}\mathbf{\text{consiga}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tercer}}\mathbf{\text{premio.}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$
Consigue el tercer premio si saca una bola blanca y otra no. Esto se consigue de 4 formas distintas: $B_1{A}_2$, $B_1{N}_2$, $A_1{B}_2$ y $N_1{B}_2$.

La probabilidad de conseguirlo es la suma de la probabilidad de cada uno de los casos enumerados.

$P(\text{una bola blanca})=P(B_1\cap A_2)+P(B_1\cap N_2)+P(A_1\cap B_2)+P(N_1\cap B_2)$

$=P(B_1)P(A_2\mathrm{/}{B}_1)+P(B_1)P(N_2\mathrm{/}{B}_1)+P(A_1)P(B_2\mathrm{/}{A}_1)+P(N_1)P(B_2\mathrm{/}{N}_1)$

$=\frac{2}{10}\cdot \frac{3}{9}+\frac{2}{10}\cdot \frac{5}{9}+\frac{3}{10}\cdot \frac{2}{9}+\frac{5}{10}\cdot \frac{2}{9}=\frac{16}{45}=\mathrm{0,356}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{jugador}}\mathbf{\text{nos}}\mathbf{\text{dice}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{premio}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{sorteo,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tercer}}\mathbf{\text{premio?}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$
La probabilidad de obtener el primer, segundo o tercer premio es la suma de las probabilidades de los dos apartados anteriores.

$P(\text{obtener premio})=\frac{4}{45}+\frac{16}{45}=\frac{20}{45}$

La probabilidad pedida es una probabilidad condicionada. Aplicamos el teorema de Bayes.

$P(\text{obtener premio 3º / ha obtenido premio})={\displaystyle \frac{P(\text{obtener premio 3º}\cap \text{obtener premio})}{P(\text{obtener premio})}}$ $={\displaystyle \frac{P(\text{obtener premio 3º})}{P(\text{obtener premio})}}={\displaystyle \frac{\frac{16}{45}}{\frac{20}{45}}}={\displaystyle \frac{4}{5}}=\mathrm{0,8}$