Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

Problema 5. Dados dos sucesos $A$ y $B$, se sabe que $P(B)=0,4$, $P(A^c\cap B^c)=0,2$ y $P(A\cap B)=0,3$, siendo $A^c$ y $B^c$ los sucesos complementarios de $A$ y $B$, respectivamente. Se pide:

a) Calcular la probabilidad del suceso $A\cup B$. (2,5 puntos)
b) Calcular la probabilidad de que solamente se verifique uno de los sucesos. (2,5 puntos)
c) Calcular la probabilidad de $B$ condicionado a $A$. (2,5 puntos)
d) ¿Son independientes los sucesos $A$ y $B$? (2,5 puntos)

Aplicamos la ley de De Morgan: $P(A^c\cap B^c)=P((A\cup B{)}^c)$

$P(A^c\cap B^c)=1-P(A\cup B)=1-0.2=0.8\Rightarrow P(A\cup B)=0.8$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{solamente}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{verifique}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos.}}\mathbf{\text{(2,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Calculamos primero $P(A)$: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0.8$

$0.8=P(A)+0.4-0.3\Rightarrow P(A)=0.7$

Calculamos la probabilidad de que solo se verifique uno de los sucesos: $P((A\cap B^c)\cup (A^c\cap B))=P(A)+P(B)-2P(A\cap B)=0.7+0.4-2\cdot 0.3=0.5$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathit{B}\mathbf{\text{condicionado}}\mathbf{\text{a}}\mathit{A}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(2,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Aplicamos el teorema de Bayes: $P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{0.3}{0.7}=0.4286$

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{¿Son}}\mathbf{\text{independientes}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{(2,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Para que $A$ y $B$ sean independientes debe cumplirse: $P(A\cap B)=P(A)\mathrm{.}P(B)$

Comprobamos: $P(A)\mathrm{.}P(B)=0.7\cdot 0.4=0.28\mathrm{\ne }0.3$

Conclusión: Los sucesos $A$ y $B$ no son independientes.