Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Problema 5.

Una estación espacial internacional cuenta con un grupo de especialistas en ingeniería y con otro de especialistas en ciencias. El grupo de especialistas en ingeniería está compuesto por 10 especialistas de América y 20 de Europa, entre los cuales 7 y 9 son mujeres, respectivamente. El grupo de especialistas en ciencias está formado por 21 especialistas de América y 19 de Europa, entre los cuales 12 y 10 son mujeres, respectivamente. Se elige un integrante de la estación espacial al azar.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de Europa? (2 puntos)
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y especialista en ciencias? (2 puntos)
c) Si se ha elegido una mujer, ¿es más probable que sea especialista en ciencias o en ingeniería? (3 puntos)
d) ¿Son independientes los sucesos “ser mujer” y “ser especialista en ingeniería”? (3 puntos)

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{5.}}\mathbf{\text{Una}}\mathbf{\text{estaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{espacial}}\mathbf{\text{internacional}}\mathbf{\text{cuenta}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{grupo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{especialistas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ingenier}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{otro}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{especialistas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ciencias.}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{grupo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{especialistas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ingenier}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{compuesto}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{especialistas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Am}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rica}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Europa,}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cuales}}\mathbf{\text{7}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{9}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{mujeres,}}\mathbf{\text{respectivamente.}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{grupo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{especialistas}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ciencias}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{formado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{21}}\mathbf{\text{especialistas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Am}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rica}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{19}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Europa,}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{cuales}}\mathbf{\text{12}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{son}}\mathbf{\text{mujeres,}}\mathbf{\text{respectivamente.}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{elige}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{integrante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{estaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{espacial}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar.}}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Europa?}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Llamamos $I$ al suceso “Ser especialista en ingeniería”, $A$ al suceso “ser de América” y $M$ al suceso “Ser mujer”.

Hay $10+20=30$ especialistas de ingeniería y $21+19=40$ especialistas en ciencias. Un total de $70$ especialistas. De los $70$ especialistas son $7+9+12+10=38$ mujeres y $70-38=32$ hombres.

Realizamos un diagrama de árbol.


$P(E)=P(C\cap E)+P(I\cap E)=P(C),P(E\mid C)+P(I),P(E\mid I)=\frac{40}{70}\cdot \frac{19}{40}+\frac{30}{70}\cdot \frac{20}{30}=\frac{39}{70}\approx 0.5571$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{hombre}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{especialista}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ciencias?}}\mathbf{\text{(2}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$P(H\cap C)=P(C\cap A\cap H)+P(C\cap E\cap H)=\frac{40}{70}\cdot \frac{21}{40}\cdot \frac{9}{21}+\frac{40}{70}\cdot \frac{19}{40}\cdot \frac{9}{19}=\frac{18}{70}=\frac{9}{35}\approx 0.2571$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{elegido}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{mujer,}}\mathbf{\text{¿es}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{probable}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{especialista}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ciencias}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ingenier}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a?}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$P(C\mid M)=\frac{P(C\cap M)}{P(M)}=\frac{\frac{40}{70}\cdot \frac{21}{40}\cdot \frac{12}{21}+\frac{40}{70}\cdot \frac{19}{40}\cdot \frac{10}{19}}{\frac{38}{70}}=\frac{22}{38}=\frac{11}{19}\approx 0.5789$

$P(I\mid M)=\frac{P(I\cap M)}{P(M)}=\frac{\frac{30}{70}\cdot \frac{10}{30}\cdot \frac{7}{10}+\frac{30}{70}\cdot \frac{20}{30}\cdot \frac{9}{20}}{\frac{38}{70}}=\frac{16}{38}=\frac{8}{19}\approx 0.4211$

$\Rightarrow$ Escogida una mujer al azar, es más probable que sea especialista en ciencias.

$\mathbf{\text{d)}}\mathbf{\text{¿Son}}\mathbf{\text{independientes}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathbf{\text{“ser}}\mathbf{\text{mujer”}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{“ser}}\mathbf{\text{especialista}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{ingenier}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a”?}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$P(M)=\frac{38}{70}=\frac{19}{35},P(M\mid I)=\frac{P(M\cap I)}{P(I)}=\frac{\frac{16}{70}}{\frac{30}{70}}=\frac{16}{30}=\frac{8}{15}$

Como:$P(M)\mathrm{\ne }P(M\mid I)\Rightarrow M\text{ y }I\text{ no son independientes}$