Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Problema 6.

Se sabe que el 60% de los clientes de una agencia de viajes realiza un viaje al año, el 30% realiza dos viajes al año, y el 10% restante realiza tres o más viajes al año. Se sabe también que hay un 54% de clientes que están casados y realizan un viaje al año, que hay un 14% de clientes que están casados y realizan dos viajes al año, y que hay un 2% de clientes que están casados y realizan tres o más viajes al año. Seleccionamos al azar un cliente de la agencia.

a) Si sabemos que el cliente seleccionado realiza dos o más viajes al año, ¿cuál es la probabilidad de que no esté casado? (3 puntos)
b) Llamemos $G$ al suceso "el cliente seleccionado no está casado" y $H$ al suceso "el cliente seleccionado realiza menos de tres viajes al año". Calcula $P(G\cup H)$. (3 puntos)
c) Llamemos $J$ al suceso "el cliente seleccionado está casado" y $K$ al suceso "el cliente seleccionado no realiza dos viajes al año". ¿Son $J$ y $K$ sucesos independientes? (4 puntos)

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{6.}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{60\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{clientes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{agencia}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{viajes}}\mathbf{\text{realiza}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{viaje}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{30\%}}\mathbf{\text{realiza}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{viajes}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{10\%}}\mathbf{\text{restante}}\mathbf{\text{realiza}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{viajes}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o.}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{tambi}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{54\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{clientes}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{casados}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{realizan}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{viaje}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o,}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{14\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{clientes}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{casados}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{realizan}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{viajes}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{2\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{clientes}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{casados}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{realizan}}\mathbf{\text{tres}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{viajes}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o.}}\mathbf{\text{Seleccionamos}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{cliente}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{agencia.}}$

Sean los sucesos:
A = 1 viaje al año
B = 2 viajes al año
C = 3 o más viajes al año
D = Casado

$$	$\text{Casado}$	$\text{No casado}$	$$
Un viaje	54		60
Dos viajes	14		30
Tres viajes o más	2		10 Totales			100

Completamos la tabla.

$$	$\text{Casado}$	$\text{No casado}$	$$
Un viaje	54	6	60
Dos viajes	14	16	30
Tres viajes o más	2	8	10 Totales	70	30	100

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{sabemos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cliente}}\mathbf{\text{seleccionado}}\mathbf{\text{realiza}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{viajes}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{casado?}}\mathbf{\text{(3}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$P(\bar{D}\mid B\cup C)=\frac{P(\bar{D}\cap B)+P(\bar{D}\cap C)}{P(B)+P(C)}=\frac{16+8}{30+10}=0.6$



$G=\bar{D};H=A\cup B\Rightarrow P(G\cup H)=P(\bar{D}\cup (A\cup B))=\frac{30+54+14}{100}=0.98$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Llamemos}}\mathit{J}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{suceso}}\mathbf{\text{"el}}\mathbf{\text{cliente}}\mathbf{\text{seleccionado}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{casado"}}\mathbf{\text{y}}\mathit{K}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{suceso}}\mathbf{\text{"el}}\mathbf{\text{cliente}}\mathbf{\text{seleccionado}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{realiza}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{viajes}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o".}}\mathbf{\text{¿Son}}\mathit{J}\mathbf{\text{y}}\mathit{K}\mathbf{\text{sucesos}}\mathbf{\text{independientes?}}\mathbf{\text{(4}}\mathbf{\text{puntos)}}$

$J\equiv$ Está casado $(D)$

$K\equiv$ No realiza dos viajes $(\bar{B})$

$p(\bar{B})=1-p(B)=0.7$

$p(\bar{B}\mid D)=\frac{p(\bar{B}\cap D)}{p(D)}=\frac{0.6\cdot 0.9+0.1\cdot 0.2}{0.6\cdot 0.9+0.3\cdot \frac{7}{15}+0.1\cdot 0.2}$ $=\frac{0.56}{0.7}=0.8$

Como $p(\bar{B})\mathrm{\ne }p(\bar{B}\mid D)$ los sucesos NO son independientes.