Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

A.4. ( 2 puntos)

Sean $A\text{ y }B$ sucesos de un experimento aleatorio tales que: $P(A\mathrm{\mid }B)={\displaystyle \frac{1}{4}},P(B)={\displaystyle \frac{1}{6}}\text{ y }P(A)={\displaystyle \frac{2}{3}}$ Calcule:

a) $P(A\cup \bar{B})\mathrm{.}$
b) $P(\bar{A}\cap B)\text{ y }(\bar{B}\cap A)\mathrm{.}$

Nota: $\bar{S}$ denota el suceso complementario del suceso $S\mathrm{.}$

Antes de nada obtenemos la probabilidad de la intersección a partir de la probabilidad condicionada que da el enunciado.

$P(A\mathrm{\mid }B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}\Rightarrow P(A\cap B)=P(A\mathrm{\mid }B)P(B)={\displaystyle \frac{1}{4}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{1}{24}}$

Aplicamos ahora la fórmula de la probabilidad de la unión, teniendo en cuenta que $P(\bar{B})=1-P(B)$ y que $A\cap \bar{B}$ es la parte de $A$ que queda fuera de $B$.

$P(\bar{B})=1-{\displaystyle \frac{1}{6}}={\displaystyle \frac{5}{6}}$

$P(A\cap \bar{B})=P(A)-P(A\cap B)={\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{24}}={\displaystyle \frac{16-1}{24}}={\displaystyle \frac{15}{24}}={\displaystyle \frac{5}{8}}$

$P(A\cup \bar{B})=P(A)+P(\bar{B})-P(A\cap \bar{B})={\displaystyle \frac{2}{3}}+{\displaystyle \frac{5}{6}}-{\displaystyle \frac{5}{8}}$

$P(A\cup \bar{B})={\displaystyle \frac{16+20-15}{24}}={\displaystyle \frac{21}{24}}={\displaystyle \frac{7}{8}}=\mathrm{0,875}$

La probabilidad pedida es ${\displaystyle \frac{7}{8}}=\mathrm{0,875}$.



Calculamos por separado las dos intersecciones, cada una como la parte de un suceso que queda fuera del otro.

$P(\bar{A}\cap B)=P(B)-P(A\cap B)={\displaystyle \frac{1}{6}}-{\displaystyle \frac{1}{24}}={\displaystyle \frac{4-1}{24}}={\displaystyle \frac{3}{24}}={\displaystyle \frac{1}{8}}$

$P(\bar{B}\cap A)=P(A)-P(A\cap B)={\displaystyle \frac{5}{8}}$

Los dos sucesos son incompatibles, porque el primero exige que ocurra $B$ y el segundo que no ocurra, así que la probabilidad de la unión es la suma de las probabilidades.

$P((\bar{A}\cap B)\cup (\bar{B}\cap A))={\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{5}{8}}={\displaystyle \frac{6}{8}}={\displaystyle \frac{3}{4}}=\mathrm{0,75}$

La probabilidad de que ocurra exactamente uno de los dos sucesos es ${\displaystyle \frac{3}{4}}=\mathrm{0,75}$.