Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

A.5. ( 2 puntos)

El peso de una patata, en gramos (g), de una remesa que llega a un mercado se puede aproximar por una variable aleatoria $X$ con distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma =60\text{ g}\mathrm{.}$

a) Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria simple para que el error máximo cometido en la estimación de $\mu$ sea menor que 20 g, con un nivel de confianza del 95 %.
b) Suponiendo que se selecciona una muestra aleatoria simple de tamaño $n=100,$ calcule el valor de la media $\mu$ para que $P(\bar{X}\le 220)=\mathrm{0,9940.}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{debe}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{aleatoria}}\mathbf{\text{simple}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{cometido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathit{\mu }\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{g,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{95}}\mathbf{\text{\%.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

El error máximo de la estimación de la media con un nivel de confianza $1-\alpha$ es $E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}$. Buscamos primero el valor crítico en la tabla de la normal estándar.

$1-\alpha =\mathrm{0,95}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,025}\Rightarrow \mathrm{\Phi }(z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,975}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$

Imponemos que el error sea menor que 20 g y despejamos el tamaño de la muestra.

$\mathrm{1,96}\cdot {\displaystyle \frac{60}{\sqrt{n}}}<20\Rightarrow \sqrt{n}>{\displaystyle \frac{\mathrm{1,96}\cdot 60}{20}}=\mathrm{5,88}$

$n>{\mathrm{5,88}}^2=\mathrm{34,5744}$

Como el tamaño de la muestra ha de ser un número entero, deben tomarse al menos 35 patatas.



Al ser la población normal, la media muestral también lo es y su desviación típica es la de la población dividida por la raíz del tamaño.

$\bar{X}\sim N(\mu ,{\displaystyle \frac{60}{\sqrt{100}}})=N(\mu ;6)$

Tipificamos e imponemos la condición del enunciado.

$P(\bar{X}\le 220)=P(Z\le {\displaystyle \frac{220-\mu }{6}})=\mathrm{0,9940}$

Leemos la tabla al revés para obtener el valor tipificado que deja a su izquierda esa probabilidad.

$\mathrm{\Phi }(z)=\mathrm{0,9940}\Rightarrow z=\mathrm{2,51}$

${\displaystyle \frac{220-\mu }{6}}=\mathrm{2,51}\Rightarrow 220-\mu =\mathrm{15,06}$

$\mu =220-\mathrm{15,06}=\mathrm{204,94}$

El peso medio de las patatas de la remesa debe ser de $\mathrm{204,94}$ gramos.