Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

A.4. ( 2 puntos)

Una asociación de senderismo ha programado tres excursiones para el mismo fin de semana. El 40 % de los socios irá al nacimiento del río Cuervo, el 35 % a las Hoces del río Duratón y el resto al Cañón del río Lobos. La probabilidad de lluvia en cada una de estas zonas se estima en 0,5, 0,6 y 0,45, respectivamente. Elegido un socio al azar:

a) Calcule la probabilidad de que en su excursión no llueva.
b) Si en la excursión realizada por este socio ha llovido, ¿cuál es la probabilidad de que este socio haya ido al nacimiento del río Cuervo?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{excursi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{llueva.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Llamamos $C$ a ir al nacimiento del río Cuervo, $D$ a ir a las Hoces del río Duratón y $L$ a ir al Cañón del río Lobos. Los tres sucesos forman un sistema completo y el resto de los socios va al Cañón del río Lobos.

$P(L)=1-\mathrm{0,40}-\mathrm{0,35}=\mathrm{0,25}$

Llamamos $Ll$ a que llueva en la excursión, $\overline{Ll}$ a que no llueva, y organizamos toda la información en un diagrama de árbol.



Aplicamos el teorema de la probabilidad total al suceso «no llover».

$P(\overline{Ll})=P(C)P(\overline{Ll}\mathrm{/}C)+P(D)P(\overline{Ll}\mathrm{/}D)+P(L)P(\overline{Ll}\mathrm{/}L)$

$P(\overline{Ll})=\mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,50}+\mathrm{0,35}\cdot \mathrm{0,40}+\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,55}$

$P(\overline{Ll})=\mathrm{0,20}+\mathrm{0,14}+\mathrm{0,1375}=\mathrm{0,4775}$

La probabilidad de que en su excursión no llueva es $\mathrm{0,4775}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{excursi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{realizada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{socio}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{llovido,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{este}}\mathbf{\text{socio}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{ido}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{nacimiento}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{r}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{Cuervo?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Se conoce el efecto y se pregunta por la causa, así que es una probabilidad a posteriori y utilizamos el teorema de Bayes. La probabilidad de que llueva es la del suceso contrario del apartado anterior.

$P(Ll)=1-P(\overline{Ll})=1-\mathrm{0,4775}=\mathrm{0,5225}$

$P(C\mathrm{/}Ll)={\displaystyle \frac{P(C)P(Ll\mathrm{/}C)}{P(Ll)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,50}}{\mathrm{0,5225}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,20}}{\mathrm{0,5225}}}$

$P(C\mathrm{/}Ll)={\displaystyle \frac{80}{209}}\approx \mathrm{0,3828}$

Sabiendo que ha llovido, la probabilidad de que el socio haya ido al nacimiento del río Cuervo es $\mathrm{0,3828}$.