Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

A 5. (Calificación máxima: 2 puntos)

El peso de los huevos producidos en una granja avícola se puede aproximar por una variable aleatoria de distribución normal de media $\mu$ gramos y desviación típica $\sigma =8$ gramos.

a) Se toma una muestra aleatoria simple de 20 huevos, obteniéndose una media muestral de 60 gramos. Determine un intervalo de confianza al 95 % para $\mu$.
b) Suponga que $\mu =59$ gramos. Calcule la probabilidad de que al tomar una muestra aleatoria simple de 10 huevos, la media muestral, $\bar{X}$, esté comprendida entre 57 y 61 gramos.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{toma}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{aleatoria}}\mathbf{\text{simple}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{20}}\mathbf{\text{huevos,}}\mathbf{\text{obteni}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{ndose}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{muestral}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{60}}\mathbf{\text{gramos.}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{95}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathit{\mu }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La población es normal con desviación típica conocida, así que el intervalo de confianza para la media es el habitual.

$n=20,\bar{x}=60\text{ g},\sigma =8\text{ g}$

$1-\alpha =\mathrm{0,95}\Rightarrow \mathrm{\Phi }(z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,975}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\mathrm{1,96}\cdot {\displaystyle \frac{8}{\sqrt{20}}}=\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{1,7889}\approx \mathrm{3,5062}$

$I{C}_{95\mathrm{\%}}(\mu )=(60-\mathrm{3,5062},60+\mathrm{3,5062})=(\mathrm{56,4938},\mathrm{63,5062})$

Con una confianza del 95 %, el peso medio de los huevos de la granja está entre 56,49 y 63,51 gramos.





La media de una muestra de tamaño 10 es normal con la desviación típica dividida por la raíz del tamaño.

$\bar{X}\sim N(59,{\displaystyle \frac{8}{\sqrt{10}}})=N(59;\mathrm{2,5298})$

Tipificamos los dos extremos del intervalo.

$P(57<\bar{X}<61)=P({\displaystyle \frac{57-59}{\mathrm{2,5298}}}<Z<{\displaystyle \frac{61-59}{\mathrm{2,5298}}})=P(-\mathrm{0,79}<Z<\mathrm{0,79})$

Por la simetría de la campana lo expresamos con un solo valor de la tabla.

$P(-\mathrm{0,79}<Z<\mathrm{0,79})=2\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,79})-1=2\cdot \mathrm{0,7852}-1=\mathrm{0,5704}$

La probabilidad de que la media de 10 huevos quede entre 57 y 61 gramos es $\mathrm{0,5704}$.