Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

A. 5. (Calificación máxima: 2 puntos)

Se quiere evaluar el uso de las redes sociales por parte de los menores de 14 años.

a) Se toma una muestra de 500 menores de 14 años, de los cuales 320 tienen cuenta en alguna red social. Calcule el intervalo de confianza al 96 % para estimar la proporción de menores de 14 años que tienen cuenta en alguna red social.
b) Suponiendo que la proporción poblacional es $P=0,5$, determine el tamaño mínimo necesario de una muestra de menores de 14 años para garantizar que, con una confianza del 95 %, el margen de error en la estimación no supere el 5 %.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{96}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{menores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{14}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{tienen}}\mathbf{\text{cuenta}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{alguna}}\mathbf{\text{red}}\mathbf{\text{social.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La proporción muestral es la observada en la muestra.

$\widehat{p}={\displaystyle \frac{320}{500}}=\mathrm{0,64},\widehat{q}=\mathrm{0,36},n=500$

$1-\alpha =\mathrm{0,96}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,02}\Rightarrow \mathrm{\Phi }(z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,98}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,055}$

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}\widehat{q}}{n}}}=\mathrm{2,055}\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,64}\cdot \mathrm{0,36}}{500}}}=\mathrm{2,055}\cdot \mathrm{0,02146}\approx \mathrm{0,0441}$

$I{C}_{96\mathrm{\%}}(p)=(\mathrm{0,64}-\mathrm{0,0441},\mathrm{0,64}+\mathrm{0,0441})=(\mathrm{0,5959},\mathrm{0,6841})$

Con una confianza del 96 %, la proporción de menores de 14 años con cuenta en alguna red social está entre el 59,59 % y el 68,41 %.





Partimos de la fórmula del error máximo admisible y despejamos el tamaño de la muestra.

$1-\alpha =\mathrm{0,95}\Rightarrow \mathrm{\Phi }(z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,975}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$

$n\ge {\displaystyle \frac{z_{\alpha \mathrm{/}2}^{2}PQ}{E^2}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{1,96}}^2\cdot \mathrm{0,5}\cdot \mathrm{0,5}}{{\mathrm{0,05}}^2}}$

$n\ge {\displaystyle \frac{\mathrm{3,8416}\cdot \mathrm{0,25}}{\mathrm{0,0025}}}=\mathrm{384,16}$

Como el tamaño de la muestra es un número entero, harían falta al menos 385 menores de 14 años.