Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2022

B.4. (2 puntos)

Tres amigas (Ana, Berta y Carla) elaboraron una lista para hacer una fiesta sorpresa a una compañera de trabajo. Ana enviará el 30 % de las invitaciones, Berta el 40 % y Carla las restantes. El 2 % de los nombres de la lista de Ana son incorrectos y las invitaciones no llegarán a su destino. En las listas de Berta y Carla, los porcentajes de nombres incorrectos son 3 % y 1 %, respectivamente.

a) Calcule la probabilidad de que una invitación no llegue a su destino.
b) Si una invitación no llegó a su destino, ¿cuál es la probabilidad de que la haya enviado Ana?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{invitaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{llegue}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{destino.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Llamamos $A$, $B$ y $C$ a los sucesos «la invitación la envía Ana, Berta o Carla», que forman un sistema completo, y $F$ a «la invitación no llega a su destino».

$P(A)=\mathrm{0,30},P(B)=\mathrm{0,40},P(C)=1-\mathrm{0,30}-\mathrm{0,40}=\mathrm{0,30}$

$P(F\mathrm{/}A)=\mathrm{0,02},P(F\mathrm{/}B)=\mathrm{0,03},P(F\mathrm{/}C)=\mathrm{0,01}$

Organizamos la información en un diagrama de árbol.



Aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(F)=P(A)P(F\mathrm{/}A)+P(B)P(F\mathrm{/}B)+P(C)P(F\mathrm{/}C)$

$P(F)=\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,02}+\mathrm{0,40}\cdot \mathrm{0,03}+\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,01}$

$P(F)=\mathrm{0,006}+\mathrm{0,012}+\mathrm{0,003}=\mathrm{0,021}$

La probabilidad de que una invitación no llegue a su destino es $\mathrm{0,021}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{invitaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{lleg}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{destino,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{enviado}}\mathbf{\text{Ana?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Se conoce el efecto y se pregunta por la causa, así que utilizamos el teorema de Bayes.

$P(A\mathrm{/}F)={\displaystyle \frac{P(A)P(F\mathrm{/}A)}{P(F)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,30}\cdot \mathrm{0,02}}{\mathrm{0,021}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,006}}{\mathrm{0,021}}}$

$P(A\mathrm{/}F)\approx \mathrm{0,2857}$

Entre las invitaciones que no llegan a su destino, un 28,57 % las había enviado Ana.