Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

A.4. (2 puntos) U

n estudio europeo sobre hábitos alimenticios y actividad física indica que el 27,4% de mujeres españolas mayores de 16 años práctica semanalmente alguna actividad física durante al menos 150 minutos, y que el 65,1% consume de 1 a 4 porciones de fruta o verdura al día. Además, el 76,3% de estas mujeres dedica semanalmente al menos 150 minutos a practicar alguna actividad física o consume de 1 a 4 porciones de fruta o verdura al día. Calcule la probabilidad de que eligiendo una mujer española mayor de 16 años al azar:

a) Dedique semanalmente al menos 150 minutos a practicar alguna actividad física y consuma de 1 a 4 porciones de fruta o verdura al día.
b) No dedique semanalmente al menos 150 minutos a practicar alguna actividad física, sabiendo que no consume de 1 a 4 porciones de fruta o verdura al día.

Llamamos $D$ al suceso «dedica semanalmente al menos 150 minutos a practicar alguna actividad física» y $C$ a «consume de 1 a 4 porciones de fruta o verdura al día».

$P(D)=\mathrm{0,274},P(C)=\mathrm{0,651},P(D\cup C)=\mathrm{0,763}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Dedique}}\mathbf{\text{semanalmente}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{150}}\mathbf{\text{minutos}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{practicar}}\mathbf{\text{alguna}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{sica}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{consuma}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{porciones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fruta}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{verdura}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Nos piden la intersección, que se despeja de la fórmula de la probabilidad de la unión.

$P(D\cup C)=P(D)+P(C)-P(D\cap C)$

$P(D\cap C)=\mathrm{0,274}+\mathrm{0,651}-\mathrm{0,763}$

$P(D\cap C)=\mathrm{0,162}$

La probabilidad de que cumpla las dos cosas a la vez es $\mathrm{0,162}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{No}}\mathbf{\text{dedique}}\mathbf{\text{semanalmente}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{150}}\mathbf{\text{minutos}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{practicar}}\mathbf{\text{alguna}}\mathbf{\text{actividad}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{sica,}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{consume}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{4}}\mathbf{\text{porciones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{fruta}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{verdura}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Es una probabilidad condicionada. El numerador es la intersección de los dos contrarios, que por las leyes de De Morgan es el contrario de la unión.

$P(\bar{D}\cap \bar{C})=P(\overline{D\cup C})=1-\mathrm{0,763}=\mathrm{0,237}$

$P(\bar{C})=1-\mathrm{0,651}=\mathrm{0,349}$

$P(\bar{D}\mathrm{/}\bar{C})={\displaystyle \frac{P(\bar{D}\cap \bar{C})}{P(\bar{C})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,237}}{\mathrm{0,349}}}$

$P(\bar{D}\mathrm{/}\bar{C})\approx \mathrm{0,68}$

Entre las mujeres que no consumen de 1 a 4 porciones de fruta o verdura al día, el 68 % tampoco dedica 150 minutos semanales a la actividad física.