Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

A.5. (2 puntos)

La capacidad en mililitros de un bote de champú se puede aproximar por una variable aleatoria con distribución normal de media $\mu$ y desviación típica igual a 10 ml.

a) Se toma una muestra aleatoria de tamaño 20 y se obtiene que su media muestral es de 200 ml. Determine un intervalo de confianza del 95 % para la capacidad media de los botes de champú.
b) Determine el tamaño mínimo de la muestra para que el error máximo cometido en la estimación de la media sea menor que 0,5 mililitros, con un nivel de confianza del 90 %.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{95}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{capacidad}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{botes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{champ}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

La población es normal con desviación típica conocida, así que el intervalo de confianza para la media es el habitual.

$n=20,\bar{x}=200\text{ ml},\sigma =10\text{ ml}$

$1-\alpha =\mathrm{0,95}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,025}\Rightarrow \mathrm{\Phi }(z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,975}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\mathrm{1,96}\cdot {\displaystyle \frac{10}{\sqrt{20}}}=\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{2,2361}\approx \mathrm{4,38}$

$I{C}_{95\mathrm{\%}}(\mu )=(200-\mathrm{4,38},200+\mathrm{4,38})=(\mathrm{195,62},\mathrm{204,38})$

Con una confianza del 95 %, la capacidad media de los botes está entre 195,62 y 204,38 mililitros.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{cometido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{0,5}}\mathbf{\text{mililitros,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{\%.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Buscamos el nuevo valor crítico y despejamos el tamaño de la muestra de la fórmula del error.

$1-\alpha =\mathrm{0,90}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,05}\Rightarrow \mathrm{\Phi }(z_{\alpha \mathrm{/}2})=\mathrm{0,95}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,645}$

$\mathrm{1,645}\cdot {\displaystyle \frac{10}{\sqrt{n}}}<\mathrm{0,5}\Rightarrow \sqrt{n}>{\displaystyle \frac{\mathrm{16,45}}{\mathrm{0,5}}}=\mathrm{32,9}$

$n>{\mathrm{32,9}}^2=\mathrm{1082,41}$

Como el tamaño de la muestra es un número entero, harían falta al menos 1083 botes de champú.