Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

B.5. (2 puntos)

El 30 % de los individuos de una población tienen una titulación universitaria. Se escoge una muestra al azar de 120 individuos.

a) ¿Cuál es la distribución aproximada que sigue la proporción de individuos con titulación universitaria de la muestra?
b) Halle la probabilidad de que más del 35 % de los individuos de la muestra sean titulados universitarios.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{aproximada}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{sigue}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{individuos}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{titulaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{universitaria}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra?}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Para muestras grandes, la proporción muestral se distribuye aproximadamente según una normal de media la proporción poblacional y desviación típica $\sqrt{{\displaystyle \frac{pq}{n}}}$.

$p=\mathrm{0,3},q=\mathrm{0,7},n=120$

$\sqrt{{\displaystyle \frac{pq}{n}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,3}\cdot \mathrm{0,7}}{120}}}=\sqrt{\mathrm{0,00175}}\approx \mathrm{0,0418}$

$\widehat{p}\sim N(\mathrm{0,3};\mathrm{0,0418})$

La proporción muestral sigue aproximadamente una distribución normal de media $\mathrm{0,3}$ y desviación típica $\mathrm{0,0418}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Halle}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{35}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{individuos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{sean}}\mathbf{\text{titulados}}\mathbf{\text{universitarios.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Tipificamos el valor $\mathrm{0,35}$ y acudimos a la tabla de la normal estándar.

$P(\widehat{p}>\mathrm{0,35})=P(Z>{\displaystyle \frac{\mathrm{0,35}-\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,0418}}})=P(Z>\mathrm{1,20})$

$P(Z>\mathrm{1,20})=1-P(Z\le \mathrm{1,20})=1-\mathrm{0,8849}$

$P(\widehat{p}>\mathrm{0,35})=\mathrm{0,1151}$

La probabilidad de que más del 35 % de los 120 individuos de la muestra sean titulados universitarios es $\mathrm{0,1151}$.