Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

10. (2 puntos)

En tres tanques, A, B y C, de una piscifactoría se crían, respectivamente, el 35 %, el 20 % y el 45 % de los alevines de salmón noruego. Se sabe que el 15 % de los alevines criados en el tanque A, el 30 % de los alevines criados en el tanque B y el 25 % de los alevines criados en el tanque C miden más de 35 mm. Eligiendo al azar un alevín de salmón noruego, calcule la probabilidad de que:

a) Mida más de 35 mm.
b) Sabiendo que no mide más de 35 mm, proceda del tanque C.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Mida}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{35}}\mathbf{\text{mm.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Llamamos $A$, $B$ y $C$ a los sucesos «el alevín procede del tanque A, B o C», que forman un sistema completo, y $M$ a «mide más de 35 mm»; $\bar{M}$ es su contrario.

$P(A)=\mathrm{0,35},P(B)=\mathrm{0,20},P(C)=\mathrm{0,45}$

$P(M\mathrm{/}A)=\mathrm{0,15},P(M\mathrm{/}B)=\mathrm{0,30},P(M\mathrm{/}C)=\mathrm{0,25}$

Organizamos la información en un diagrama de árbol; las ramas inferiores son las contrarias de las anteriores.



Aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(M)=P(A)P(M\mathrm{/}A)+P(B)P(M\mathrm{/}B)+P(C)P(M\mathrm{/}C)$

$P(M)=\mathrm{0,35}\cdot \mathrm{0,15}+\mathrm{0,20}\cdot \mathrm{0,30}+\mathrm{0,45}\cdot \mathrm{0,25}$

$P(M)=\mathrm{0,0525}+\mathrm{0,06}+\mathrm{0,1125}=\mathrm{0,225}$

La probabilidad de que un alevín elegido al azar mida más de 35 mm es $\mathrm{0,225}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{mide}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{35}}\mathbf{\text{mm,}}\mathbf{\text{proceda}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tanque}}\mathit{C}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{punto)}}$

Se conoce el efecto y se pregunta por la causa, así que utilizamos el teorema de Bayes. La probabilidad de no medir más de 35 mm es la contraria de la del apartado anterior.

$P(\bar{M})=1-\mathrm{0,225}=\mathrm{0,775}$

$P(C\cap \bar{M})=P(C)P(\bar{M}\mathrm{/}C)=\mathrm{0,45}\cdot \mathrm{0,75}=\mathrm{0,3375}$

$P(C\mathrm{/}\bar{M})={\displaystyle \frac{P(C\cap \bar{M})}{P(\bar{M})}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,3375}}{\mathrm{0,775}}}={\displaystyle \frac{27}{62}}$

$P(C\mathrm{/}\bar{M})\approx \mathrm{0,4355}$

Sabiendo que el alevín no mide más de 35 mm, la probabilidad de que proceda del tanque C es de $\mathrm{0,4355}$.