Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

EJERCICIO 6. Estadística y Probabilidad.
Una compañía de seguros quiere determinar qué proporción de sus clientes estaría dispuesta a aceptar una subida de tarifas a cambio de un incremento en sus prestaciones. Una encuesta previa indica que esta proporción está en torno al 15%.

a) ¿De qué tamaño mínimo debería ser la muestra si se quiere estimar dicha proporción con un error inferior a 0,08 y un nivel de confianza del 95%?
Finalmente, se realiza el estudio con una muestra de 196 clientes, de los que 37 manifestaron su conformidad con la propuesta.
b) Calcule un intervalo de confianza, al 92%, para la proporción de clientes de la compañía que aceptaría dicha propuesta. ¿Cuál es el error máximo cometido?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿De}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{deber}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{quiere}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{0,08}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{95\%?}}$

Partimos de la estimación previa de la proporción, $\widehat{p}=\mathrm{0,15}$, y del valor crítico del 95 %, $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$. Imponemos que el error no llegue a 0,08.

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}}\Rightarrow \mathrm{1,96}\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,15}\cdot \mathrm{0,85}}{n}}}<\mathrm{0,08}$

$\sqrt{n}>{\displaystyle \frac{\mathrm{1,96}\sqrt{\mathrm{0,1275}}}{\mathrm{0,08}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{0,3571}}{\mathrm{0,08}}}\approx \mathrm{8,75}$

$n>{\mathrm{8,75}}^2\approx \mathrm{76,53}$

El tamaño mínimo de la muestra debería ser de 77 clientes.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza,}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{92\%,}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{clientes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{compa}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{aceptar}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{propuesta.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{cometido?}}$

Con los datos del estudio, la proporción muestral es

$\widehat{p}={\displaystyle \frac{37}{196}}\approx \mathrm{0,1888}n=196$

Para un nivel de confianza del 92 % se tiene $\alpha =\mathrm{0,08}$, $\frac{\alpha }{2}=\mathrm{0,04}$ y, buscando en la tabla el valor que deja a su izquierda 0,96, resulta $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,751}$.

$\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,1888}\cdot \mathrm{0,8112}}{196}}}\approx \mathrm{0,0280}$

$E=\mathrm{1,751}\cdot \mathrm{0,0280}\approx \mathrm{0,0489}$

$IC=(\mathrm{0,1888}-\mathrm{0,0489};\mathrm{0,1888}+\mathrm{0,0489})=(\mathrm{0,1399};\mathrm{0,2377})$

Con un 92 % de confianza, la proporción de clientes que aceptaría la propuesta está entre el 13,99 % y el 23,77 %, con un error máximo de 0,0489, es decir, de algo menos de cinco puntos porcentuales.