Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

EJERCICIO 6. Estadística y Probabilidad.
El salario (en €) de los trabajadores de una empresa se distribuye normalmente con desviación típica $\sigma =300$ €. Se preguntó a 36 trabajadores elegidos al azar, y se establece que el salario medio de los trabajadores de la empresa oscila entre 1552 € y 1748 €.

a) ¿Cuál ha sido el salario medio de los trabajadores de la muestra? ¿Con qué nivel de confianza se ha establecido el intervalo anterior?
b) Si el salario medio de los trabajadores de la empresa es $\mu =1650$ €, ¿cuál es la probabilidad de que el salario medio de muestras de 36 trabajadores sea superior a 1590 €?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{salario}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{trabajadores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra?}}\mathbf{\text{¿Con}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{establecido}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{anterior?}}$

El intervalo de confianza para la media es simétrico respecto de la media muestral, así que esta es su punto medio.

$\bar{x}={\displaystyle \frac{1552+1748}{2}}={\displaystyle \frac{3300}{2}}=1650$

La semiamplitud es el error máximo admisible:

$E={\displaystyle \frac{1748-1552}{2}}=98$

De la relación entre el error y el nivel de confianza se despeja el valor crítico:

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\Rightarrow 98=z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{300}{\sqrt{36}}}=z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot 50$

$z_{\alpha \mathrm{/}2}={\displaystyle \frac{98}{50}}=\mathrm{1,96}$

Al valor $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$ le corresponde $\frac{\alpha }{2}=\mathrm{0,025}$, luego $\alpha =\mathrm{0,05}$.



El salario medio de la muestra fue de 1650 euros y el intervalo se estableció con un nivel de confianza del 95 %.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{salario}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{trabajadores}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{empresa}}\mathbf{\text{es}}\mathit{\mu }\mathbf{\text{=}}\mathbf{\text{1650}}\mathbf{\text{€,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{salario}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{muestras}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{36}}\mathbf{\text{trabajadores}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{superior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{1590}}\mathbf{\text{€?}}$

La media de una muestra de tamaño 36 tomada de una población normal se distribuye también normalmente:

$\bar{X}\sim N(\mu ;{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})=N(1650;{\displaystyle \frac{300}{6}})=N(1650;50)$

Tipificamos y usamos la simetría de la campana para poder leer la tabla.

$P(\bar{X}>1590)=P(Z>{\displaystyle \frac{1590-1650}{50}})=P(Z>-\mathrm{1,2})=P(Z<\mathrm{1,2})=\mathrm{0,8849}$

La probabilidad de que el salario medio de una muestra de 36 trabajadores supere los 1590 euros es $\mathrm{0,8849}$, casi el 89 %.