Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

EJERCICIO 6. Estadística y Probabilidad.
En una muestra aleatoria de 120 empresas inspeccionadas, de entre las visitadas un año por los inspectores de trabajo de una provincia, se ha sancionado a 30 de ellas.

a) Calcule, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de confianza para la proporción de empresas sancionadas por la Inspección de Trabajo.
b) Si ignoramos los datos iniciales y con un nivel de confianza del 95%, ¿cuál es el tamaño mínimo de la muestra necesaria para estimar la proporción de empresas sancionadas con un error máximo del 2%?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule,}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{90\%,}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{empresas}}\mathbf{\text{sancionadas}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{Inspecci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{Trabajo.}}$

La proporción muestral es el punto de partida del intervalo.

$\widehat{p}={\displaystyle \frac{30}{120}}=\mathrm{0,25}n=120$

Para un nivel de confianza del 90 % corresponde $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,645}$. El intervalo de confianza para una proporción es

$IC=(\widehat{p}\pm z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}})$

$\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,25}\cdot \mathrm{0,75}}{120}}}=\sqrt{\mathrm{0,0015625}}\approx \mathrm{0,0395}$

$E=\mathrm{1,645}\cdot \mathrm{0,0395}\approx \mathrm{0,065}$

$IC=(\mathrm{0,25}-\mathrm{0,065};\mathrm{0,25}+\mathrm{0,065})=(\mathrm{0,185};\mathrm{0,315})$

Con un 90 % de confianza, la proporción de empresas sancionadas está entre el 18,5 % y el 31,5 %.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{ignoramos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{datos}}\mathbf{\text{iniciales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{95\%,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nimo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{necesaria}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{estimar}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{empresas}}\mathbf{\text{sancionadas}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{2\%?}}$

Al ignorar los datos iniciales no se dispone de una estimación de la proporción, así que se toma el caso más desfavorable, $\widehat{p}=\mathrm{0,5}$, que es el que hace máximo el producto $\widehat{p}(1-\widehat{p})$.

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\sqrt{{\displaystyle \frac{\widehat{p}(1-\widehat{p})}{n}}}\Rightarrow \mathrm{0,02}=\mathrm{1,96}\sqrt{{\displaystyle \frac{\mathrm{0,25}}{n}}}$

$\sqrt{n}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,96}\sqrt{\mathrm{0,25}}}{\mathrm{0,02}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,96}\cdot \mathrm{0,5}}{\mathrm{0,02}}}=49$

$n={49}^2=2401$

El tamaño mínimo de la muestra necesaria es de 2401 empresas.