Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

A 4 [hasta 2,5 puntos]
Las notas obtenidas por los estudiantes de un determinado grupo en una asignatura siguen una distribución normal de media 6,2 puntos y desviación típica 2 puntos.
Se elige un estudiante al azar. Calcula:

a) [1 punto] La probabilidad de que su nota sea superior a 7.
b) [0,75 puntos] La probabilidad de que haya obtenido una nota comprendida entre 5 y 8 puntos.
c) [0,75 puntos] Si el 25 % del alumnado con mejor nota consiguió la calificación de “sobresaliente”, ¿cuál es la nota mínima para obtener dicha calificación?

Se llama $X$ a la nota obtenida por un estudiante elegido al azar.

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(\mathrm{6,2};2);Z={\displaystyle \frac{X-\mathrm{6,2}}{2}}\sim N(0,1)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{nota}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{superior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{7.}}$

Se tipifica y se pasa al complementario, porque la tabla da áreas acumuladas por la izquierda.

$P(X>7)=P(Z>{\displaystyle \frac{7-\mathrm{6,2}}{2}})=P(Z>\mathrm{0,4})=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,4})$

$=1-\mathrm{0,6554}=\mathrm{0,3446}$

La probabilidad de que su nota sea superior a $7$ es $\mathrm{0,3446}$, es decir, un $\mathrm{34,46}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{nota}}\mathbf{\text{comprendida}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{8}}\mathbf{\text{puntos.}}$

Se tipifican los dos extremos y se lleva el negativo al semieje positivo por simetría.

$P(5<X<8)=P({\displaystyle \frac{5-\mathrm{6,2}}{2}}<Z<{\displaystyle \frac{8-\mathrm{6,2}}{2}})=P(-\mathrm{0,6}<Z<\mathrm{0,9})$

$=\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,9})-\mathrm{\Phi }(-\mathrm{0,6})=\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,9})-(1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,6}))$

$=\mathrm{0,8159}-(1-\mathrm{0,7257})=\mathrm{0,8159}-\mathrm{0,2743}=\mathrm{0,5416}$

La probabilidad de que su nota esté comprendida entre $5$ y $8$ puntos es $\mathrm{0,5416}$, es decir, un $\mathrm{54,16}\mathrm{\%}$.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{25}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{alumnado}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{mejor}}\mathbf{\text{nota}}\mathbf{\text{consigui}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{calificaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{“sobresaliente”,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{nota}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{obtener}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{calificaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}$

Se busca la nota $k$ que deja por encima el $25\mathrm{\%}$ del alumnado, es decir, la que acumula por debajo el $75\mathrm{\%}$: el tercer cuartil de la distribución.

$P(X\ge k)=\mathrm{0,25}\Rightarrow P(X<k)=\mathrm{0,75}\Rightarrow P(Z<{\displaystyle \frac{k-\mathrm{6,2}}{2}})=\mathrm{0,75}$

En la tabla, el área $\mathrm{0,75}$ cae entre $\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,67})=\mathrm{0,7486}$ y $\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,68})=\mathrm{0,7517}$, de modo que se interpola y se toma el valor intermedio.

${\displaystyle \frac{k-\mathrm{6,2}}{2}}=\mathrm{0,675}\Rightarrow k=\mathrm{6,2}+\mathrm{0,675}\cdot 2=\mathrm{6,2}+\mathrm{1,35}$

$k=\mathrm{7,55}$

La nota mínima para obtener el sobresaliente es de $\mathrm{7,55}$ puntos.