Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

B.4. [hasta 2,5 puntos]
Para conocer el gasto medio anual que las familias de una determinada población realizan en servicios de hostelería, se ha tomado una muestra aleatoria de familias a partir de la cual se ha obtenido que el intervalo de confianza para la media es $(820,830)$ con un nivel de confianza del 95 %.
Se sabe que el gasto anual tiene una distribución normal con desviación típica 80 euros.

a) [1 punto] Calcula la media obtenida a partir de la muestra.
b) [1,5 puntos] Calcula el número de familias que han formado parte de la muestra.

Aquí el intervalo de confianza viene dado y de él se extraen los dos datos que se piden.

$X\sim N(\mu ,80);{\text{IC}}_{95\mathrm{\%}}=(820,830)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{obtenida}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra.}}$

El intervalo de confianza para la media está construido sumando y restando el mismo error a la media muestral, de modo que esta es el punto medio de los dos extremos.

$\bar{x}={\displaystyle \frac{820+830}{2}}={\displaystyle \frac{1650}{2}}=825$

La media obtenida a partir de la muestra es de $825$ euros.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{familias}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{formado}}\mathbf{\text{parte}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra.}}$

El error máximo admisible es la mitad de la amplitud del intervalo.

$E={\displaystyle \frac{830-820}{2}}={\displaystyle \frac{10}{2}}=5$

Con el nivel de confianza dado se obtiene el valor crítico.

$1-\alpha =\mathrm{0,95}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,025}\Rightarrow \mathrm{\Phi }\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(z_{\alpha \mathrm{/}2}\right)=\mathrm{0,975}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$

Se despeja el tamaño de la muestra de la fórmula del error.

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\Rightarrow 5=\mathrm{1,96}\cdot {\displaystyle \frac{80}{\sqrt{n}}}$

$\sqrt{n}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,96}\cdot 80}{5}}={\displaystyle \frac{\mathrm{156,8}}{5}}=\mathrm{31,36}$

$n={\mathrm{31,36}}^2=\mathrm{983,45}$

Como el número de familias ha de ser entero y el error no puede superar el valor obtenido, se redondea hacia arriba.

La muestra ha estado formada por $984$ familias.