Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2021

B.4. [hasta 2,5 puntos]
El gasto que realizan los jóvenes de una determinada ciudad durante un fin de semana es una variable aleatoria que sigue una distribución normal de media $\mu$ desconocida y desviación típica 6 euros.

a) [1,5 puntos] Se toma una muestra aleatoria simple, y se obtiene que el intervalo de confianza para la media es $(\mathrm{24,47},\mathrm{26,43})$ con un nivel de confianza del 95 %. Calcula el valor de la media muestral y el tamaño de la muestra elegida.
b) [1 punto] Se ha seleccionado otra muestra de tamaño 49 para estimar $\mu$. Calcula el error máximo admisible cometido para dicha estimación con un nivel de confianza del 97 %.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{toma}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{aleatoria}}\mathbf{\text{simple,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{obtiene}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{es}}\mathrm{<mrow><mo\; stretchy="false">(</mo><mn\; mathvariant="bold">24,47</mn><mo\; separator="true">,</mo><mtext> </mtext><mn\; mathvariant="bold">26,43</mn><mo\; stretchy="false">)</mo></mrow>}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{95}}\mathbf{\text{\%.}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{muestral}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{elegida.}}$

El intervalo de confianza para la media está centrado en la media muestral, de modo que esta es el punto medio de los dos extremos.

$\bar{x}={\displaystyle \frac{\mathrm{24,47}+\mathrm{26,43}}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{50,90}}{2}}=\mathrm{25,45}\text{ euros}$

El error máximo admisible es el semiancho del intervalo.

$E={\displaystyle \frac{\mathrm{26,43}-\mathrm{24,47}}{2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,96}}{2}}=\mathrm{0,98}$

Con el nivel de confianza dado se obtiene el valor crítico y de ahí se despeja el tamaño de la muestra.

$1-\alpha =\mathrm{0,95}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,025}\Rightarrow \mathrm{\Phi }\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(z_{\alpha \mathrm{/}2}\right)=\mathrm{0,975}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}\Rightarrow \mathrm{0,98}=\mathrm{1,96}\cdot {\displaystyle \frac{6}{\sqrt{n}}}$

$\sqrt{n}={\displaystyle \frac{\mathrm{1,96}\cdot 6}{\mathrm{0,98}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{11,76}}{\mathrm{0,98}}}=12\Rightarrow n=144$

La media muestral es de $\mathrm{25,45}$ euros y la muestra elegida tenía $144$ jóvenes.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Se}}\mathbf{\text{ha}}\mathbf{\text{seleccionado}}\mathbf{\text{otra}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{49}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{estimar}}\mathit{\mu }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{error}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{admisible}}\mathbf{\text{cometido}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{estimaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{nivel}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{97}}\mathbf{\text{\%.}}$

Se obtiene primero el nuevo valor crítico y después se aplica la fórmula del error con el nuevo tamaño de muestra.

$1-\alpha =\mathrm{0,97}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\alpha }{2}}=\mathrm{0,015}\Rightarrow \mathrm{\Phi }\text{\hspace{0.17em}⁣}\left(z_{\alpha \mathrm{/}2}\right)=\mathrm{0,985}\Rightarrow z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{2,17}$

$E=z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}}=\mathrm{2,17}\cdot {\displaystyle \frac{6}{\sqrt{49}}}=\mathrm{2,17}\cdot {\displaystyle \frac{6}{7}}$

$E=\mathrm{2,17}\cdot \mathrm{0,8571}=\mathrm{1,86}$

El error máximo admisible con esa muestra y ese nivel de confianza es de $\mathrm{1,86}$ euros.