Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

EJERCICIO 6. Estadística y Probabilidad.
Puede suponerse que el tiempo de formación, en horas, que necesita un empleado de una empresa para poder trabajar en una nueva planta sigue una distribución normal con desviación típica igual a 15.

a) Si en una muestra de 25 empleados, el tiempo medio necesario fue de 97 horas, calcule un intervalo de confianza con un 95% de confianza para la media del tiempo de formación precisado.
b) Si la media del tiempo de formación precisado es $\mu =97$ horas, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo medio precisado de muestras de 36 trabajadores se encuentre entre 90 y 104 horas?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{muestra}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{25}}\mathbf{\text{empleados,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{medio}}\mathbf{\text{necesario}}\mathbf{\text{fue}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{97}}\mathbf{\text{horas,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{95\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{confianza}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{formaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{precisado.}}$

El intervalo de confianza para la media de una población normal con desviación típica conocida es

$IC=(\bar{x}\pm z_{\alpha \mathrm{/}2}\cdot {\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})$

Para un nivel de confianza del 95 % corresponde $z_{\alpha \mathrm{/}2}=\mathrm{1,96}$.

$E=\mathrm{1,96}\cdot {\displaystyle \frac{15}{\sqrt{25}}}=\mathrm{1,96}\cdot 3=\mathrm{5,88}$

$IC=(97-\mathrm{5,88};97+\mathrm{5,88})=(\mathrm{91,12};\mathrm{102,88})$

Con un 95 % de confianza, el tiempo medio de formación que necesita un empleado está entre 91,12 y 102,88 horas.



La media de una muestra de tamaño 36 tomada de una población normal se distribuye también normalmente:

$\bar{X}\sim N(\mu ;{\displaystyle \frac{\sigma }{\sqrt{n}}})=N(97;{\displaystyle \frac{15}{6}})=N(97;\mathrm{2,5})$

Tipificamos los dos extremos del intervalo.

$P(90\le \bar{X}\le 104)=P({\displaystyle \frac{90-97}{\mathrm{2,5}}}\le Z\le {\displaystyle \frac{104-97}{\mathrm{2,5}}})=P(-\mathrm{2,8}\le Z\le \mathrm{2,8})$

Por la simetría de la campana:

$P(-\mathrm{2,8}\le Z\le \mathrm{2,8})=2P(Z\le \mathrm{2,8})-1=2\cdot \mathrm{0,9974}-1=\mathrm{0,9948}$



La probabilidad de que el tiempo medio de una muestra de 36 trabajadores esté entre 90 y 104 horas es $\mathrm{0,9948}$, prácticamente la certeza.