Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2020

Problema 3.

De dos sucesos $A$ y $B$ se sabe que satisfacen que $P(A)=0,4,P(A\cup B)=0,8$ y $P(A^c\cup B^c)=0,7$, donde $A^c$ y $B^c$ representan los sucesos complementarios de los sucesos $A$ y $B$, respectivamente. Se pide:

a) ¿Son independientes los sucesos $A$ y $B$? (2,5 puntos)
b) La probabilidad de que solo se verifique uno de los sucesos. (2,5 puntos)
c) La probabilidad de que se verifique el suceso $B^c$. (2,5 puntos)
d) La probabilidad de que se verifique el suceso $A^c\mathrm{/}B$. (2,5 puntos)

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Son}}\mathbf{\text{independientes}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathit{B}\mathbf{\text{?}}\mathbf{\text{(2,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Para que sean independientes debe cumplirse que $P(A\cap B)=P(A)\mathrm{.}P(B)$.

$P(A^c\cup B^c)=\mathrm{0,7}\Rightarrow P((A\cap B{)}^c)=\mathrm{0,7}$ $\Rightarrow 1-P(A\cap B)=\mathrm{0,7}\Rightarrow P(A\cap B)=\mathrm{0,3}$

$P(A\cup B)=\mathrm{0,8}\Rightarrow P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\mathrm{0,8}$

$\mathrm{0,4}+P(B)-\mathrm{0,3}=\mathrm{0,8}\Rightarrow P(B)=\mathrm{0,7}$

$\{\begin{array}{l}P(A\cap B)=\mathrm{0,3}\\ P(A)\mathrm{.}P(B)=\mathrm{0,4}\cdot \mathrm{0,7}=\mathrm{0,28}\end{array}$

Como $P(A\cap B)\mathrm{\ne }P(A)\mathrm{.}P(B)$, los sucesos $A$ y $B$ no son independientes.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{solo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{verifique}}\mathbf{\text{uno}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{sucesos.}}\mathbf{\text{(2,5}}\mathbf{\text{puntos)}}$

Nos piden que calculemos $P((A\cap B^c)\cup (A^c\cap B))$.

$P((A\cap B^c)\cup (A^c\cap B))=P(A\cap B^c)+P(A^c\cap B)$

$=(P(A)-P(A\cap B))+(P(B)-P(A\cap B))=\mathrm{0,4}-\mathrm{0,3}+\mathrm{0,7}-\mathrm{0,3}$ $=\mathrm{0,5}$



$P(B^c)=1-P(B)=1-\mathrm{0,7}=\mathrm{0,3}$



$P(A^c\mathrm{/}B)=\frac{P(A^c\cap B)}{P(B)}=\frac{P(B)-P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{\mathrm{0,7}-\mathrm{0,3}}{\mathrm{0,7}}=\frac{4}{7}\approx \mathrm{0,571}$