Examen de Matemáticas CCSS de Comunidad Valenciana 2020 (convocatoria extraordinaria)

Problema 1.

Una fábrica de juguetes artesanales produce camiones, marionetas y rompecabezas de madera. Para fabricar un camión necesita dos kilos de madera y tres horas de trabajo, mientras que para una marioneta necesita quinientos gramos de madera y cuatro horas de trabajo. En el caso de los rompecabezas necesita ochocientos gramos de madera y tres horas y media de trabajo para producir uno. Durante una semana, la empresa ha puesto en el mercado 89 juguetes utilizando exactamente 91 kilos de madera y 313 horas de trabajo. Determina el número de camiones, de marionetas y de rompecabezas producidos.

(Planteamiento correcto 5 puntos – Resolución correcta 5 puntos)

Problema 2.

Dada la función $f(x)=\frac{x^2}{x-1}$, se pide:

a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados. (2 puntos)
b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen. (2 puntos)
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (2 puntos)
d) Los máximos y mínimos locales. (2 puntos)
e) La representación gráfica de la función a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores. (2 puntos)

Problema 3.

De dos sucesos $A$ y $B$ se sabe que satisfacen que $P(A)=0,4,P(A\cup B)=0,8$ y $P(A^c\cup B^c)=0,7$, donde $A^c$ y $B^c$ representan los sucesos complementarios de los sucesos $A$ y $B$, respectivamente. Se pide:

a) ¿Son independientes los sucesos $A$ y $B$? (2,5 puntos)
b) La probabilidad de que solo se verifique uno de los sucesos. (2,5 puntos)
c) La probabilidad de que se verifique el suceso $B^c$. (2,5 puntos)
d) La probabilidad de que se verifique el suceso $A^c\mathrm{/}B$. (2,5 puntos)

Problema 4.

Dadas las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 1& 1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 2& 2\\ -1& -1\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$, se pide:

a) Calcula $(AB{)}^{-1}$. (4 puntos)
b) Calcula $C+AB$. (2 puntos)
c) ¿Son iguales las matrices $C^{-1}+(AB{)}^{-1}$ y $(C+AB{)}^{-1}$? (4 puntos)

Problema 5.

Una tienda de alquiler de bicicletas dispone mensualmente de 350 bicicletas. Haciendo un estudio entre los ingresos y los costes de explotación se ha determinado que los beneficios mensuales, en euros, se ajustan a la función $f(x)=350x-x^2-15000$, siendo $x$ el número de bicicletas alquiladas en un mes.

a) Calcula el número de bicicletas que hay que alquilar cada mes para obtener un beneficio máximo. (3 puntos)
b) ¿Cuál es dicho beneficio máximo? (2 puntos)
c) Determina a partir de qué cantidad de bicicletas alquiladas el taller obtiene beneficios. (2,5 puntos)
d) ¿Puede tener pérdidas a pesar de alquilar una cantidad mayor de bicicletas que la obtenida en el apartado anterior? (2,5 puntos)

Problema 6.

En una determinada ciudad, se sabe que el 80% de los hogares están formados por más de una persona. Se sabe también que el 30% de los hogares de esa ciudad están suscritos al canal Panoramix. Por último, se sabe que el 20% de los hogares están formados por más de una persona y están suscritos al canal Panoramix. Seleccionamos al azar un hogar de esta ciudad.

a) Calcula la probabilidad de que el hogar seleccionado no esté suscrito al canal Panoramix.
b) Calcula la probabilidad de que el hogar seleccionado esté formado por una única persona y también esté suscrito al canal Panoramix.
c) Si sabemos que el hogar seleccionado está formado por una única persona, ¿cuál es la probabilidad de que esté suscrito al canal Panoramix?
d) Si sabemos que el hogar seleccionado está suscrito al canal Panoramix, ¿cuál es la probabilidad de que esté formado por más de una persona? (Cada apartado puntúa 2,5 puntos)