Examen de Matemáticas CCSS de Comunidad Valenciana 2025 (convocatoria extraordinaria)

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{1.}}\mathbf{\text{A.}}$

Una agencia de viajes organiza excursiones a la montaña y a la playa. La agencia obtiene $700$ euros de beneficio por cada excursión a la montaña y $500$ euros por cada excursión a la playa. La agencia dispone de un total de $10$ autobuses y $8$ guías turísticos para las excursiones. Cada excursión a la montaña requiere $2$ autobuses y $2$ guías, mientras que cada excursión a la playa requiere $2$ autobuses y $1$ guía.

a) ¿Cuántas excursiones a la montaña y cuántas a la playa tiene que organizar la agencia para obtener el máximo beneficio posible? $(3\text{ puntos})$
b) ¿Cuál es dicho beneficio máximo? $(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{1.}}\mathbf{\text{B.}}$

Sean las matrices $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& -2\\ 0& 3& 0\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 0\\ -1& 0& -1\end{array}\right)$ y $C=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 4& 2& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$

a) Determina la matriz $X$ que es solución de la ecuación $2XA+B^{t}C=I$, siendo $I$ la matriz identidad de orden $3$ y $B^t$ la traspuesta de la matriz $B$. $(\mathrm{2,5}\text{ puntos})$
b) Consideremos la matriz $D=\left(\begin{array}{ccc}3& 0& -1\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& z\end{array}\right)\mathrm{.}$ Calcula para qué valores de $z$ la matriz $AD$ es diagonal. $(1\text{ punto})$

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{2.}}\mathbf{\text{A.}}$

Una empresa que fabrica neumáticos para coches ha estudiado su desgaste, medido en una escala de $0$ a $1$, en función del tiempo de uso. La empresa fabrica dos tipos de neumáticos: $A$ y $B$. Para un neumático $A$, su desgaste $D_A$ tras $x$ meses de uso, para $x$ entre $0$ y $50$, viene dado por la función $D_A(x)={\displaystyle \frac{1}{100}}+{\displaystyle \frac{29x}{3000}}$. Por su parte, el desgaste $D_B$ para un neumático $B$ tras $x$ meses de uso, para $x$ entre $0$ y $50$, viene dado por la función $D_B(x)={\displaystyle \frac{x^2}{3000}}$.

a) Determina el número de meses para el cual el desgaste es el mismo para los dos tipos de neumáticos. $(1\text{ punto})$
b) Determina para qué intervalo de meses el desgaste es menor para el neumático $A$ y para qué intervalo de meses el desgaste es menor para el $B$. $(1\text{ punto})$
c) Calcula el área comprendida entre las dos funciones en el intervalo en que el desgaste es menor para el neumático $A$, y calcula el área comprendida entre las dos funciones en el intervalo en que el desgaste es menor para el $B$. $(\mathrm{1,5}\text{ puntos})$

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{2.}}\mathbf{\text{B.}}$

Se considera la función:

$f(x)={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1+x^2}{x(2x+4)+2}}$

Se pide:

a) Su dominio y los puntos de corte con los ejes coordenados. $(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$
b) Las asíntotas horizontales y verticales, si existen. $(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$
c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los máximos y mínimos locales, si existen. $(2\text{ puntos})$
d) La representación gráfica de la función a partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores. $(\mathrm{0,5}\text{ puntos})$

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{3.}}$

Una ciudad está implementando un programa de sostenibilidad ambiental. Como parte de este programa, los residentes tienen la opción de participar en dos actividades: limpieza de parques y plantación de árboles. Para evaluar el impacto de esta iniciativa, se realizó una encuesta a $2.000$ ciudadanos, de los cuales $800$ participaron en la limpieza de parques, $1.400$ en la plantación de árboles, $300$ en las dos actividades y $100$ en ninguna de ellas. Seleccionamos al azar a uno de estos ciudadanos.

a) Calcula la probabilidad de que el ciudadano seleccionado participe en al menos una de las dos actividades. $(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$
b) Calcula la probabilidad de que el ciudadano seleccionado participe en limpieza de parques, pero no en plantación de árboles. $(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$
c) Calcula la probabilidad de que el ciudadano seleccionado participe en exactamente una de las dos actividades. $(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$
d) Si el ciudadano seleccionado no ha participado en la plantación de árboles, calcula la probabilidad de que tampoco haya participado en la limpieza de parques. $(\mathrm{0,75}\text{ puntos})$