Ejercicio resuelto de Inecuaciones · Matemáticas CCSS · 2025

$\mathbf{\text{Problema}}\mathbf{\text{2.}}\mathbf{\text{A.}}$

Una empresa que fabrica neumáticos para coches ha estudiado su desgaste, medido en una escala de $0$ a $1$, en función del tiempo de uso. La empresa fabrica dos tipos de neumáticos: $A$ y $B$. Para un neumático $A$, su desgaste $D_A$ tras $x$ meses de uso, para $x$ entre $0$ y $50$, viene dado por la función $D_A(x)={\displaystyle \frac{1}{100}}+{\displaystyle \frac{29x}{3000}}$. Por su parte, el desgaste $D_B$ para un neumático $B$ tras $x$ meses de uso, para $x$ entre $0$ y $50$, viene dado por la función $D_B(x)={\displaystyle \frac{x^2}{3000}}$.

a) Determina el número de meses para el cual el desgaste es el mismo para los dos tipos de neumáticos. $(1\text{ punto})$
b) Determina para qué intervalo de meses el desgaste es menor para el neumático $A$ y para qué intervalo de meses el desgaste es menor para el $B$. $(1\text{ punto})$
c) Calcula el área comprendida entre las dos funciones en el intervalo en que el desgaste es menor para el neumático $A$, y calcula el área comprendida entre las dos funciones en el intervalo en que el desgaste es menor para el $B$. $(\mathrm{1,5}\text{ puntos})$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{meses}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cual}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{desgaste}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{mismo}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{tipos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{neum}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ticos.}}(1\text{ punto})$

Para calcular el número de meses que deben transcurrir para que el desgaste sea el mismo para los dos tipos de neumáticos, debemos igualar las funciones $D_A$ y $D_B$. A continuación, se despeja $x$, que será el número de meses pedido.

$D_A(x)=D_B(x)\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{100}}+{\displaystyle \frac{29x}{3000}}={\displaystyle \frac{x^2}{3000}}$

${\displaystyle \frac{30+29x}{3000}}={\displaystyle \frac{x^2}{3000}}\Rightarrow x^2-29x-30=0$

$\{\begin{array}{l}x=-1\\ x=30\end{array}$

Se descarta la solución negativa por no pertenecer al dominio de las funciones.

El desgaste es el mismo para los dos tipos de neumáticos tras $30$ meses de uso.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Determina}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{meses}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{desgaste}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{neum}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tico}}\mathit{A}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{meses}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{desgaste}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathit{B}\mathbf{\text{.}}(1\text{ punto})$

En este caso se resuelve la inecuación correspondiente.

$D_A(x)<D_B(x)\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{100}}+{\displaystyle \frac{29x}{3000}}<{\displaystyle \frac{x^2}{3000}}$

${\displaystyle \frac{30+29x}{3000}}<{\displaystyle \frac{x^2}{3000}}\Rightarrow x^2-29x-30>0$

Anteriormente habíamos demostrado que en $x=30$ el polinomio se anulaba. Se hace un estudio de signos.

$\begin{array}{ccc}& [0,30)& (30,50]\\ x^2-29x-30& -& +\end{array}$

$\{\begin{array}{l}\text{Si }x=10,{10}^2-29\cdot 10-30=-220<0\\ \text{Si }x=40,{40}^2-29\cdot 40-30=410>0\end{array}$

Por lo tanto, $D_A(x)<D_B(x)$ cuando $30<x\le 50$ meses y $D_A(x)>D_B(x)$ cuando $0\le x<30$ meses.

El desgaste es menor para el neumático $A$ en el intervalo $(30,50]$.

El desgaste es menor para el neumático $B$ en el intervalo $[0,30)$.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{comprendida}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{funciones}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{desgaste}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{neum}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{tico}}\mathit{A}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{calcula}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{comprendida}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{funciones}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{intervalo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{desgaste}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{el}}\mathit{B}\mathbf{\text{.}}(\mathrm{1,5}\text{ puntos})$

Se comienza con el primer caso $D_A(x)<D_B(x)$:

${\int }_{30}^{50}(D_B(x)-D_A(x))dx={\int }_{30}^{50}({\displaystyle \frac{x^2}{3000}}-({\displaystyle \frac{1}{100}}+{\displaystyle \frac{29x}{3000}}))dx$

$={\int }_{30}^{50}({\displaystyle \frac{x^2}{3000}}-{\displaystyle \frac{29x}{3000}}-{\displaystyle \frac{1}{100}})dx$

$={\displaystyle \frac{1}{3000}}{\int }_{30}^{50}{x}^{2}dx-{\displaystyle \frac{29}{3000}}{\int }_{30}^{50}xdx-{\displaystyle \frac{1}{100}}{\int }_{30}^{50}1dx$

$={[{\displaystyle \frac{1}{3000}}\cdot {\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{29}{3000}}\cdot {\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{100}}x]}_{30}^{50}$

$=({\displaystyle \frac{1}{3000}}\cdot {\displaystyle \frac{{50}^3}{3}}-{\displaystyle \frac{29}{3000}}\cdot {\displaystyle \frac{{50}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{100}}\cdot 50)-({\displaystyle \frac{1}{3000}}\cdot {\displaystyle \frac{{30}^3}{3}}-{\displaystyle \frac{29}{3000}}\cdot {\displaystyle \frac{{30}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{100}}\cdot 30)$

${\int }_{30}^{50}(D_B(x)-D_A(x))dx={\displaystyle \frac{47}{36}}-(-{\displaystyle \frac{33}{20}})={\displaystyle \frac{133}{45}}$ unidades de área.

Se hace el otro caso $D_B(x)<D_A(x)$:

${\int }_0^{30}(D_A(x)-D_B(x))dx={\int }_0^{30}({\displaystyle \frac{1}{100}}+{\displaystyle \frac{29x}{3000}}-{\displaystyle \frac{x^2}{3000}})dx$

$={\int }_0^{30}(-{\displaystyle \frac{x^2}{3000}}+{\displaystyle \frac{29x}{3000}}+{\displaystyle \frac{1}{100}})dx$

$=-{\displaystyle \frac{1}{3000}}{\int }_0^{30}{x}^{2}dx+{\displaystyle \frac{29}{3000}}{\int }_0^{30}xdx+{\displaystyle \frac{1}{100}}{\int }_0^{30}1dx$

$={[-{\displaystyle \frac{1}{3000}}\cdot {\displaystyle \frac{x^3}{3}}+{\displaystyle \frac{29}{3000}}\cdot {\displaystyle \frac{x^2}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{100}}x]}_0^{30}$

$=(-{\displaystyle \frac{1}{3000}}\cdot {\displaystyle \frac{{30}^3}{3}}+{\displaystyle \frac{29}{3000}}\cdot {\displaystyle \frac{{30}^2}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{100}}\cdot 30)-(-{\displaystyle \frac{1}{3000}}\cdot {\displaystyle \frac{0^3}{3}}+{\displaystyle \frac{29}{3000}}\cdot {\displaystyle \frac{0^2}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{100}}\cdot 0)$

${\int }_0^{30}(D_A(x)-D_B(x))dx={\displaystyle \frac{33}{20}}-0={\displaystyle \frac{33}{20}}$ unidades de área.